Technische Mathematik & Geometrie

Der Satz des Pythagoras verknüpft die beiden Katheten a und b eines rechtwinkligen Dreiecks (die Seiten am rechten Winkel) mit der Hypotenuse c (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel): Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

In der Praxis ist das die Formel für alles, was schräg liegt: Diagonalen von Räumen und Platten, Sparren- und Strebenlängen aus Grundmaß und Höhe, der Abstand zweier Punkte aus ihren Koordinatendifferenzen oder die Kontrolle eines rechten Winkels auf der Baustelle (3-4-5-Regel: Sind die Katheten 3 m und 4 m lang, muss die Diagonale genau 5 m messen).

Der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von Gegenkathete (die Seite gegenüber dem Winkel) zu Hypotenuse (die längste Seite): sin α = a / c. Umgestellt liefert die Formel die Gegenkathete, wenn Hypotenuse und Winkel bekannt sind – oder die Hypotenuse, wenn Höhe und Winkel gemessen wurden.

Typische Anwendungen sind alles, was unter einem bekannten Winkel steht oder verläuft: die erreichte Höhe einer angelegten Leiter, der Hub eines schrägen Förderbands, die Höhe eines Sparrens über der Traufe bei bekannter Sparrenlänge und Dachneigung oder die senkrechte Komponente einer schräg wirkenden Kraft.

Der Kosinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von Ankathete (die am Winkel anliegende Kathete) zu Hypotenuse: cos α = b / c. Die Formel liefert damit die waagerechte Projektion einer schrägen Länge – das Gegenstück zum Sinus, der die senkrechte Komponente ergibt.

In der Praxis wird so aus Sparrenlänge und Dachneigung die horizontale Dachtiefe bestimmt, aus Schrägmaß und Winkel die Grundrisslänge einer Strebe oder aus einer schräg wirkenden Kraft ihre waagerechte Komponente. Umgekehrt ergibt sich aus Grundmaß und Winkel die schräge Länge, etwa die Länge einer Rampe oder eines Sparrens.

Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete: tan α = a / b. Er verbindet die beiden Katheten direkt miteinander, ohne dass die Hypotenuse bekannt sein muss. Damit ist der Tangens zugleich die Steigung als Dezimalzahl: tan α · 100 ergibt die Steigung in Prozent.

Die klassische Anwendung ist die Höhenbestimmung aus der Entfernung: Wer den horizontalen Abstand zu einem Mast, Schornstein oder Baum und den Höhenwinkel zur Spitze kennt, erhält die Höhe. Ebenso wird aus Dachneigung und halber Gebäudetiefe die Firsthöhe berechnet oder aus Gefälle und Länge der Höhenunterschied einer Leitung.

Die Steigung in Prozent gibt an, wie viele Meter Höhe auf 100 m horizontaler Länge gewonnen (Steigung) oder verloren (Gefälle) werden: p = Δh / Δl · 100. Dabei ist Δl die waagerecht gemessene Länge, nicht die schräge Weglänge. 100 % Steigung bedeuten also Δh = Δl, das entspricht 45°.

Mit dieser Angabe werden Rampen, Straßen, Flachdächer und Rohrleitungen geplant. Entwässerungsleitungen brauchen ein Mindestgefälle, damit sie sich selbst reinigen; barrierefreie Rampen dürfen eine Höchstneigung nicht überschreiten; Flachdächer bekommen ein Regelgefälle, damit kein Wasser steht. Häufig wird die Steigung auch als Verhältnis angegeben: 1 : 50 heißt 1 m Höhe auf 50 m Länge, also 2 %.

Der Neigungswinkel α einer Schräge gegen die Waagerechte ergibt sich aus dem Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Länge über den Arkustangens (die Umkehrfunktion des Tangens): α = arctan(Δh / Δl). Das Verhältnis Δh / Δl ist zugleich die Steigung als Dezimalzahl, sodass die Formel auch Prozent in Grad umrechnet: α = arctan(p / 100).

Gebraucht wird der Winkel überall dort, wo Bauteile oder Anlagen nach Grad ausgelegt werden: Dachneigung für Photovoltaik und Dacheindeckung, Neigung von Solarkollektoren, Böschungswinkel im Tiefbau, Schüttwinkel von Schüttgut oder der Anstellwinkel einer Förderanlage.

Der Umfang eines Kreises ist das π-fache seines Durchmessers bzw. das 2π-fache seines Radius. Die Kreiszahl π ≈ 3,1416 ist das feste Verhältnis von Umfang zu Durchmesser jedes Kreises.

In der Praxis liefert die Formel die Abwicklung von Rohrmänteln, Blechverkleidungen und Dämmschalen, die Länge einer Rohrschelle oder eines Spannbands, den Weg, den ein Rad oder eine Seiltrommel je Umdrehung zurücklegt, und – als Vorstufe – die Mantelfläche von Zylindern.

Die Fläche eines Kreises wächst mit dem Quadrat des Radius: A = π · r². Mit dem Durchmesser geschrieben lautet dieselbe Formel A = π · d² / 4 – die Form, die in Tabellenbüchern für Rohr- und Wellenquerschnitte steht.

Die Kreisfläche ist der Querschnitt von Rohren, Kanälen, Wellen, Bolzen und Kabeln und geht damit in Volumenstrom, Strömungsgeschwindigkeit, Spannungen und elektrische Leiterquerschnitte ein. Außerdem ist sie die Grundfläche von Zylindern und runden Tanks und die Stirnfläche von Rundstahl und Bohrungen.

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen einem äußeren Kreis mit Radius R und einem inneren Kreis mit Radius r um denselben Mittelpunkt. Seine Fläche ist die Differenz der beiden Kreisflächen: A = π · R² − π · r² = π · (R² − r²).

Der Kreisring ist der Querschnitt jedes Rohrs, jeder Hülse und jeder Dämmschale: Aus ihm folgen die Metermasse eines Stahlrohrs, der Werkstoffquerschnitt einer Hohlwelle für die Festigkeitsrechnung, das Dämmvolumen je Meter Leitung oder die Fläche einer Ringdichtung.

Ein Kreisbogen ist der Teil der Kreislinie, der zu einem Mittelpunktswinkel α gehört. Seine Länge ist der entsprechende Anteil am vollen Umfang: b = 2 · π · r · α / 360°. Im Bogenmaß lautet dieselbe Beziehung b = r · α, was zugleich die Definition des Bogenmaßes ist.

Gebraucht wird die Bogenlänge beim Rohrbiegen (gestreckte Länge im Bogen), für gebogene Kabeltrassen, Schienen und Geländer, für die Abwicklung von Blechsegmenten und für Wege auf Kreisbahnen, etwa den Verfahrweg eines Schwenkarms.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist das „Tortenstück“ zwischen zwei Radien und dem zugehörigen Bogen. Seine Fläche ist der Anteil α / 360° an der vollen Kreisfläche: A = π · r² · α / 360°. Für α = 90° ist das ein Viertelkreis, für α = 180° ein Halbkreis.

In der Praxis beschreibt der Sektor Schwenk- und Arbeitsbereiche von Kranen, Toren und Türen, Beregnungs- und Ausleuchtungsflächen von Sektor-Sprinklern und Strahlern, Flächen von Rundbogenfenstern und Segmentflächen an Behältern.

Die Fläche eines Rechtecks ist das Produkt seiner beiden Seitenlängen. Die Formel gilt ebenso für Quadrate (a = b) und – mit der senkrechten Höhe statt der zweiten Seite – für Parallelogramme.

Das Rechteck ist die Basis jedes Aufmaßes: Wand-, Boden- und Deckenflächen für Dämmung, Putz, Anstrich und Beläge, Fensterflächen für den Abzug, Grundflächen von Räumen für Heizlast und Lüftung. Unregelmäßige Grundrisse werden in Rechtecke, Dreiecke und Trapeze zerlegt und die Teilflächen addiert oder abgezogen.

Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus einer Grundseite g und der zugehörigen Höhe h – der senkrechte Abstand der gegenüberliegenden Ecke von der Grundseite. Die Formel gilt für jedes Dreieck, ob spitz-, recht- oder stumpfwinklig; nur muss die Höhe wirklich rechtwinklig auf der gewählten Grundseite stehen.

Im Bauwesen taucht das Dreieck als Giebelfläche, als Walm- oder Dachteilfläche, bei der Zerlegung schiefwinkliger Grundstücke und bei Verschnittberechnungen auf; in der Technik als Querschnitt von Keilen, Rinnen und Dreiecksprofilen.

Die Heron-Formel berechnet die Fläche eines beliebigen Dreiecks allein aus seinen drei Seiten a, b und c. Hilfsgröße ist der halbe Umfang s = (a + b + c) / 2; die Fläche ist dann A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)). Eine Höhe muss nicht gemessen werden – ein Vorteil überall dort, wo nur Seitenlängen zugänglich sind.

Typische Fälle sind dreieckige Grundstücksteile und Restflächen, die mit dem Maßband aufgenommen werden, schiefwinklige Dachflächen und Flächen in Grundrissen, die mit der Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt werden. Der Sonderrechner prüft zuerst, ob die drei Seiten überhaupt ein Dreieck bilden (Dreiecksungleichung), und liefert neben der Fläche auch die drei Innenwinkel aus dem Kosinussatz.

Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten a und c. Seine Fläche ist die mittlere Breite (a + c) / 2 multipliziert mit dem senkrechten Abstand h der beiden parallelen Seiten. Für a = c wird das Trapez zum Rechteck, für c = 0 zum Dreieck.

Im Tiefbau ist das Trapez der Regelquerschnitt von Gräben, Dämmen und Böschungen (Aushub = Querschnittsfläche · Länge), im Hochbau die Form von Walmdachflächen und abgeschrägten Wänden, im Maschinenbau der Querschnitt von Keilriemen und Schwalbenschwanzführungen.

Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei Kantenlängen. Jede Kante steht senkrecht auf den beiden anderen; der Würfel ist der Sonderfall a = b = c. Für Flüssigkeiten gilt 1 m³ = 1 000 l.

Die Formel liefert Betonmengen für Fundamente und Bodenplatten, Aushubmengen, Raumvolumen für Lüftung und Heizlast, das Fassungsvermögen rechteckiger Behälter und Becken sowie Lagervolumen – immer mit der Frage, ob Innen- oder Außenmaße gemeint sind.

Die Oberfläche eines Quaders besteht aus sechs Rechtecken, die paarweise gleich groß sind: Boden und Deckel (a · b), Vorder- und Rückseite (a · c) sowie die beiden Stirnseiten (b · c). Daraus folgt O = 2 · (a · b + a · c + b · c); beim Würfel vereinfacht sich das zu O = 6 · a².

Gebraucht wird die Oberfläche für den Materialbedarf an Blech, Dämmplatten, Folie oder Anstrich bei Behältern, Kanälen und Schaltschränken und für Wärmeverluste von Kästen und Boxen. Für offene Behälter oder die reine Mantelfläche werden die fehlenden Flächen abgezogen.

Das Volumen eines geraden Kreiszylinders ist Grundfläche mal Höhe: V = π · r² · h. Mit dem Durchmesser geschrieben lautet die Formel V = π · d² / 4 · h. Die Höhe ist die senkrechte Länge zwischen den beiden Kreisflächen – bei liegenden Behältern also die Behälterlänge.

Damit werden Pufferspeicher, Warmwasserspeicher, Tanks und Silos ausgelegt, der Wasserinhalt von Rohrleitungen bestimmt (wichtig für Spül- und Frostschutzmengen), Betonmengen für Bohrpfähle und Rundstützen ermittelt und Hubräume oder Verdrängungen berechnet.

Die Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders ist die gekrümmte Seitenfläche ohne Boden und Deckel. Abgewickelt ist sie ein Rechteck mit der Breite des Umfangs 2 · π · r und der Höhe h: M = 2 · π · r · h. Die gesamte Oberfläche ergibt sich mit den beiden Kreisflächen zu O = 2 · π · r · h + 2 · π · r².

In der Praxis ist die Mantelfläche die Dämm- oder Anstrichfläche von Rohren, Tanks, Silos und Speichern, der Blechbedarf für Rohrschüsse und Lüftungsrohre und – mit dem Wärmedurchgangskoeffizienten – die Fläche für Wärmeverluste von Speichern und Leitungen.

Das Volumen einer Kugel ist V = 4/3 · π · r³; mit dem Durchmesser lautet die Formel V = π · d³ / 6. Da der Radius mit der dritten Potenz eingeht, verachtfacht sich das Volumen bei doppeltem Radius.

Kugelbehälter werden für Flüssiggas und Druckgase eingesetzt, weil die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche und die günstigste Spannungsverteilung hat. Weitere Fälle sind Schwimmerkugeln in Armaturen, Kugelhähne, Kugelgelenke und das Volumen von Schüttgutkörnern oder Tropfen.

Die Oberfläche einer Kugel ist O = 4 · π · r², also genau das Vierfache der Kreisfläche mit demselben Radius; mit dem Durchmesser lautet die Formel O = π · d². Von allen Körpern hat die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche.

Die Oberfläche bestimmt den Dämm- und Anstrichbedarf von Kugelbehältern, die wärmeübertragende Fläche von Kugeln (etwa bei Schüttungen und Katalysatorkörnern) und über die Projektionsfläche den Strömungswiderstand kugelförmiger Teilchen.

Das Volumen eines geraden Kreiskegels ist ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe: V = 1/3 · π · r² · h. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche – nicht die Mantellinie s = √(r² + h²), die von der Spitze zum Rand der Grundfläche läuft.

Der wichtigste Praxisfall ist der Schüttkegel: Sand, Kies, Splitt oder Pellets bilden beim Abkippen einen Kegel, dessen Volumen sich aus Durchmesser und Höhe ergibt. Weitere Anwendungen sind Trichter und Siloausläufe, konische Behälterböden, Kegelstümpfe (als Differenz zweier Kegel) und Bohrkegel.

Eine quadratische Gleichung in Normalform x² + p · x + q = 0 hat die Lösungen x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = (p/2)² − q und entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt: zwei für D > 0, eine doppelte für D = 0 und keine für D < 0. Eine allgemeine Gleichung a · x² + b · x + c = 0 wird zuerst durch a geteilt (p = b / a, q = c / a).

Quadratische Gleichungen entstehen in der Technik immer dann, wenn eine Größe im Quadrat auftritt: Seitenlängen eines Rechtecks aus Fläche und Umfang, Durchmesser aus einer Querschnittsbedingung, Wurfweiten und Bremswege, Zeitpunkte bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung, Betriebspunkte von Pumpenkennlinien oder Wirtschaftlichkeitsrechnungen mit quadratischen Kostenanteilen.

Stoffwerttabellen, Kennlinien und Normtabellen liefern Werte nur an festen Stützstellen. Liegt der gesuchte Eingangswert x dazwischen, wird der Verlauf zwischen den beiden benachbarten Stützstellen (x₁, y₁) und (x₂, y₂) durch eine Gerade ersetzt: y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Der Bruch ist die Steigung der Geraden, der Rest eine Dreisatz-Rechnung.

Das ist das Standardverfahren für Dichte, Wärmekapazität, Viskosität, Dampfdruck oder Enthalpie bei Zwischentemperaturen, für Pumpen- und Ventilatorkennlinien, Rohrreibungstabellen und für Klimadaten. Umgekehrt lässt sich auch der x-Wert bestimmen, der zu einem gegebenen y gehört – etwa die Temperatur, bei der eine Tabelle einen bestimmten Dampfdruck ausweist.

Prozent bedeutet „von Hundert“: p % eines Grundwerts G sind der Prozentwert W = G · p / 100. Die drei Größen hängen über eine einzige Gleichung zusammen, sodass aus zwei bekannten die dritte folgt: der Prozentsatz als Anteil W / G · 100 oder der Grundwert aus Anteil und Prozentsatz.

Im Ingenieuralltag taucht die Prozentrechnung ständig auf: Verschnittzuschläge bei Dämmung, Fliesen und Blech, Sicherheitszuschläge bei Heizlast und Pumpenleistung, Wirkungsgrade und Verluste, Feuchte- und Luftanteile, Rabatte und Mehrwertsteuer in Angeboten.

Die prozentuale Änderung setzt die Differenz zwischen neuem und altem Wert ins Verhältnis zum alten Wert: p = (W_neu − W_alt) / W_alt · 100. Bezugsgröße ist immer der Ausgangswert. Positives p bedeutet Zunahme, negatives p Abnahme.

Damit werden Einsparungen nach einer Sanierung, Verbrauchs- und Kostensteigerungen, Leistungsänderungen und Abweichungen zwischen Soll und Ist bewertet. Umgekehrt liefert die Umstellung den neuen Wert bei bekannter Änderung (z. B. Preissteigerung um 4 %) oder den Ausgangswert, wenn Endwert und Änderung bekannt sind.

Beim proportionalen Dreisatz gehört zu einer Menge x₁ ein Wert y₁, und gesucht ist der Wert y₂ zu einer anderen Menge x₂. Weil das Verhältnis y / x konstant ist, gilt y₂ / x₂ = y₁ / x₁ und damit y₂ = y₁ · x₂ / x₁. Der klassische Rechenweg führt über die Einheit („für 1 m² werden … benötigt“) und multipliziert dann mit der neuen Menge.

Der Dreisatz ist das Werkzeug für Materialbedarf (Verbrauch je m², Masse je Meter), Kosten je Einheit, Zeiten bei gleichbleibender Leistung, Umrechnungen zwischen Einheiten und für die Skalierung von Rezepturen und Mischungen. Voraussetzung ist ein proportionaler Zusammenhang: doppelte Menge, doppelter Wert.