Technische Mathematik & Geometrie
Kosinus im rechtwinkligen Dreieck
Ankathete aus Hypotenuse und Winkel: b = c · cos α.
Der Kosinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von Ankathete (die am Winkel anliegende Kathete) zu Hypotenuse: cos α = b / c. Die Formel liefert damit die waagerechte Projektion einer schrägen Länge – das Gegenstück zum Sinus, der die senkrechte Komponente ergibt.
In der Praxis wird so aus Sparrenlänge und Dachneigung die horizontale Dachtiefe bestimmt, aus Schrägmaß und Winkel die Grundrisslänge einer Strebe oder aus einer schräg wirkenden Kraft ihre waagerechte Komponente. Umgekehrt ergibt sich aus Grundmaß und Winkel die schräge Länge, etwa die Länge einer Rampe oder eines Sparrens.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| AnkatheteKathete, die am Winkel α anliegt (waagerechte Projektion) | m | |
| Hypotenuselängste Seite, gegenüber dem rechten Winkel (schräge Länge) | m | |
| WinkelWinkel zwischen Hypotenuse c und Ankathete b (0 … 90°) | ° |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Ein Sparren eines Satteldachs ist von der Traufe bis zum First 5,20 m lang, die Dachneigung beträgt 35°. Welche horizontale Tiefe (Grundrissmaß) deckt der Sparren ab?
- Gegeben: c = 5,20 m (Sparrenlänge = Hypotenuse), α = 35° (Dachneigung). Gesucht: horizontale Projektion b (Ankathete).
- Formel: b = c · cos α.
- Einsetzen: b = 5,20 m · cos 35° = 5,20 m · 0,8192 = 4,260 m.
- Ergebnis: Der Sparren überdeckt im Grundriss rund 4,26 m. Die Höhe über der Traufe folgt mit dem Sinus: a = 5,20 m · sin 35° ≈ 2,98 m.
Ergebnis: 4,26 m
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck; α liegt zwischen der Hypotenuse c und der Ankathete b.
- Gültig für 0° < α < 90°. Bei der Umstellung nach α muss b ≤ c sein (Arkuskosinus nur für Werte bis 1 definiert).
- Für die Gegenkathete gilt die Sinus-Formel a = c · sin α; beide zusammen erfüllen a² + b² = c².
Typische Fehler
- Sinus und Kosinus vertauschen: Der Kosinus gehört zur Seite, die am Winkel anliegt.
- Bei Dächern den Winkel zur Senkrechten statt zur Waagerechten verwenden (Dachneigung wird gegen die Horizontale gemessen).