Technische Mathematik & Geometrie
Sinus im rechtwinkligen Dreieck
Gegenkathete aus Hypotenuse und Winkel: a = c · sin α.
Der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von Gegenkathete (die Seite gegenüber dem Winkel) zu Hypotenuse (die längste Seite): sin α = a / c. Umgestellt liefert die Formel die Gegenkathete, wenn Hypotenuse und Winkel bekannt sind – oder die Hypotenuse, wenn Höhe und Winkel gemessen wurden.
Typische Anwendungen sind alles, was unter einem bekannten Winkel steht oder verläuft: die erreichte Höhe einer angelegten Leiter, der Hub eines schrägen Förderbands, die Höhe eines Sparrens über der Traufe bei bekannter Sparrenlänge und Dachneigung oder die senkrechte Komponente einer schräg wirkenden Kraft.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| GegenkatheteSeite gegenüber dem Winkel α | m | |
| Hypotenuselängste Seite, gegenüber dem rechten Winkel | m | |
| WinkelWinkel zwischen Hypotenuse c und Ankathete b (0 … 90°) | ° |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Eine 6,00 m lange Anlegeleiter wird unter einem Anstellwinkel von 70° gegen eine Wand gestellt. Welche Höhe erreicht das obere Leiterende?
- Gegeben: c = 6,00 m (Leiterlänge = Hypotenuse), α = 70° (Anstellwinkel gegen den Boden). Gesucht: erreichte Höhe a (Gegenkathete zu α).
- Formel: a = c · sin α.
- Einsetzen: a = 6,00 m · sin 70° = 6,00 m · 0,9397 = 5,638 m.
- Ergebnis: Die Leiter erreicht rund 5,64 m Höhe. Der Fußpunkt steht dabei b = 6,00 m · cos 70° ≈ 2,05 m von der Wand entfernt.
Ergebnis: 5,64 m
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. α ist der Winkel zwischen Hypotenuse c und Ankathete b; die Gegenkathete a liegt ihm gegenüber.
- Gültig für 0° < α < 90°. Bei der Umstellung nach α muss a ≤ c sein, sonst gibt es kein reelles Ergebnis (der Arkussinus ist nur für Werte bis 1 definiert).
- Der Rechner erwartet Winkel in Grad; ein Taschenrechner muss auf DEG stehen.
Typische Fehler
- Gegen- und Ankathete verwechseln: Der Sinus gehört zur Seite gegenüber dem Winkel, der Kosinus zur anliegenden Seite.
- Winkel im Bogenmaß eingeben oder den Taschenrechner auf RAD/GRAD (Neugrad) stehen lassen.