Festigkeitslehre

Wird ein Stab in seiner Längsachse durch eine Kraft F belastet, verteilt sich diese Kraft gleichmäßig über den Querschnitt A. Die dabei entstehende Normalspannung σ (sigma) ist der Quotient aus Kraft und Fläche. Sie ist die zentrale Vergleichsgröße der Festigkeitslehre: Erst der Bezug auf die Fläche macht Belastungen unterschiedlicher Bauteile vergleichbar und erlaubt den Abgleich mit Werkstoffkennwerten wie der Streckgrenze.

Vorzeichenkonvention: Zugkräfte und Zugspannungen werden positiv, Druckkräfte und Druckspannungen negativ angesetzt. Die Einheit N/mm² ist identisch mit MPa (1 N/mm² = 1 MPa = 10⁶ N/m²).

Typische Anwendungen sind Zugstäbe von Abspannungen, Zuganker, Schraubenschäfte und Seile sowie gedrückte Stützen und Pendelstäbe – bei Druck allerdings nur, solange der Stab gedrungen genug ist, um nicht zu knicken.

Die Dehnung ε (epsilon) setzt die Längenänderung ΔL eines Bauteils ins Verhältnis zu seiner Ausgangslänge L₀. Sie ist dimensionslos und beschreibt die Verformung unabhängig von der Bauteilgröße: Ein 1 m langer und ein 10 m langer Stab aus demselben Werkstoff dehnen sich unter gleicher Spannung um denselben Bruchteil ihrer Länge.

Weil die Werte im elastischen Bereich sehr klein sind, wird die Dehnung häufig in Promille (‰) oder Prozent (%) angegeben: ε = 0,001 entspricht 1 ‰ bzw. 0,1 %. Der Rechner arbeitet mit dem reinen Zahlenwert.

Vorzeichen: Verlängerung (Zug) positiv, Verkürzung (Druck) negativ. Die Dehnung wird mit Dehnungsmessstreifen gemessen und über das Hookesche Gesetz in Spannungen umgerechnet; sie ist zudem die Grundlage jeder Verformungsrechnung.

Das Hookesche Gesetz beschreibt den linear-elastischen Bereich eines Werkstoffs: Die Normalspannung σ ist proportional zur Dehnung ε. Der Proportionalitätsfaktor ist der Elastizitätsmodul E (kurz E-Modul), ein Werkstoffkennwert mit der Einheit einer Spannung. Je größer E, desto steifer der Werkstoff: Stahl (E ≈ 210 000 N/mm²) dehnt sich bei gleicher Spannung nur ein Drittel so stark wie Aluminium (E ≈ 70 000 N/mm²).

Das Gesetz gilt nur unterhalb der Proportionalitätsgrenze, praktisch also unterhalb der Streckgrenze. Wird diese überschritten, bleibt nach Entlastung eine plastische Verformung zurück, und der lineare Zusammenhang gilt nicht mehr.

In der Praxis wird das Hookesche Gesetz in beide Richtungen genutzt: um aus gemessenen Dehnungen (Dehnungsmessstreifen) auf Spannungen zu schließen und um aus Spannungen die Verformung von Bauteilen zu berechnen.

Die Längenänderung ΔL eines Zug- oder Druckstabs ergibt sich aus der Verknüpfung von Spannungsformel, Hookeschem Gesetz und Dehnungsdefinition: σ = F / A, ε = σ / E und ΔL = ε · L. Zusammengefasst wird daraus ΔL = F · L / (E · A). Das Produkt E · A heißt Dehnsteifigkeit und beschreibt, wie stark sich ein Stab einer Längenänderung widersetzt.

Die Formel gilt für Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Normalkraft im linear-elastischen Bereich. Zugkräfte (positiv) führen zu einer Verlängerung, Druckkräfte (negativ) zu einer Verkürzung.

In der Praxis wird so die Verformung von Zugankern, Abspannungen, Stützen und Schrauben berechnet – etwa um zu prüfen, ob die Dehnung einer Abspannung mit den zulässigen Verschiebungen verträglich ist, oder um die Verlängerung einer Schraube beim Anziehen zu bestimmen.

Nahezu alle Werkstoffe dehnen sich bei Erwärmung aus und ziehen sich bei Abkühlung zusammen. Die Längenänderung ΔL ist proportional zur Ausgangslänge L, zur Temperaturänderung ΔT und zum Längenausdehnungskoeffizienten α (alpha), einem Werkstoffkennwert in 1/K. Für Stahl beträgt α rund 12 · 10⁻⁶ 1/K: Ein 1 m langer Stahlstab wird je Kelvin um 0,012 mm länger.

Vorzeichenkonvention: ΔT = T_Ende − T_Anfang. Erwärmung ergibt eine positive, Abkühlung eine negative Längenänderung. Da Temperaturdifferenzen in K und °C gleich groß sind, kann ΔT direkt aus °C-Werten gebildet werden.

Die Wärmedehnung ist für Rohrleitungen, Rohrbrücken, Fassaden, Schienen und Brücken ein Bemessungsfall: Wird die Dehnung behindert, entstehen Zwängungsspannungen, die sich mit dem Hookeschen Gesetz berechnen lassen (σ = E · α · ΔT) und erhebliche Kräfte erreichen können. Deshalb werden Dehnungsausgleicher, Festpunkte und Gleitlager vorgesehen.

Wirkt eine Kraft F quer zur Stabachse in der Querschnittsebene – wie bei einem Bolzen, Niet oder einer Schraube, die zwei Bleche verbindet –, entsteht im Querschnitt eine Schubspannung τ (tau), die Scherspannung. Die hier angegebene Formel liefert die mittlere Scherspannung, mit der Verbindungselemente in der Praxis bemessen werden (Abschernachweis).

Entscheidend ist die richtige Scherfläche A: Bei einschnittigen Verbindungen trägt ein Querschnitt, bei zweischnittigen (Bolzen in einer Gabel) tragen zwei Querschnitte, sodass sich die Scherfläche verdoppelt. Für Niete und Bolzen gilt je Scherfläche A = π · d² / 4.

Die tatsächliche Schubspannungsverteilung über den Querschnitt ist nicht gleichmäßig (bei Kreisquerschnitten liegt das Maximum beim 4/3-Fachen des Mittelwerts); die zulässigen Werte τ_zul in Tabellenbüchern sind jedoch auf den Mittelwert bezogen und berücksichtigen das bereits.

Die Flächenpressung p ist die mittlere Druckspannung in der Berührfläche zweier Bauteile, etwa zwischen Stützenfuß und Fundament, Lagerplatte und Auflager, Bolzen und Lochwand oder Schraubenkopf und Unterlegscheibe. Sie wird wie die Zug-/Druckspannung als Kraft je Fläche berechnet, bezieht sich aber auf die gedrückte Kontaktfläche und nicht auf den Bauteilquerschnitt.

Bei Bolzen- und Nietverbindungen heißt sie Lochleibungsdruck; als Fläche wird dann die projizierte Fläche d · t (Durchmesser mal Blechdicke) angesetzt, nicht die halbe Zylinderfläche. Unter Fußplatten und Lagerplatten wird die Plattenfläche angesetzt, sofern die Platte ausreichend steif ist.

Der zulässige Wert p_zul hängt vom weicheren der beiden Werkstoffe ab: Beton, Holz und Mauerwerk vertragen deutlich weniger als Stahl, weshalb Lasten aus Stahlstützen über Fußplatten auf eine größere Fläche verteilt werden.

Das Flächenträgheitsmoment I (auch Flächenmoment 2. Grades) beschreibt, wie der Werkstoff eines Querschnitts um die Biegeachse verteilt ist. Je weiter die Fläche von der neutralen Faser entfernt liegt, desto größer ist ihr Beitrag – deshalb geht die Höhe h mit der dritten Potenz ein. Ein Balken 100 mm × 200 mm ist hochkant viermal so biegesteif wie flach gelegt.

Die Formel gilt für das Rechteck bezogen auf die Schwerachse parallel zur Breite b, also für Biegung in Richtung der Höhe h. Für die andere Achse werden b und h vertauscht. I wird für Durchbiegungen und für die Knicklast gebraucht; für die Biegespannung dient das daraus abgeleitete Widerstandsmoment W.

In Tabellenbüchern wird I meist in cm⁴ angegeben; 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴.

Das Widerstandsmoment W verbindet das Biegemoment mit der Biegespannung in der Randfaser: σ_b = M_b / W. Es ergibt sich aus dem Flächenträgheitsmoment, geteilt durch den Abstand der äußersten Faser von der neutralen Achse (beim Rechteck h / 2): W = I / (h / 2) = b · h² / 6.

Anders als beim Flächenträgheitsmoment geht die Höhe nur quadratisch ein. Trotzdem lohnt es sich, Träger hochkant einzubauen: Bei 100 mm × 200 mm ist W hochkant doppelt so groß wie flach.

Tabellenbücher geben W meist in cm³ an; 1 cm³ = 1 000 mm³. Für Walzprofile (IPE, HEA, HEB, U) wird W direkt aus den Profiltabellen entnommen.

Für den Vollkreis mit Durchmesser d beträgt das axiale Flächenträgheitsmoment I = π · d⁴ / 64. Wegen der Kreissymmetrie gilt dieser Wert für jede Achse durch den Mittelpunkt – ein Rundstab ist in alle Richtungen gleich biegesteif.

Der Durchmesser geht mit der vierten Potenz ein: Eine Welle mit 10 % mehr Durchmesser ist rund 46 % biegesteifer. Umgekehrt ändert sich bei der Umstellung nach d der nötige Durchmesser nur mit der vierten Wurzel aus dem geforderten I.

I wird für die Durchbiegung von Wellen und Achsen sowie für den Knicknachweis von Rundstäben und Stützen benötigt. Das polare Flächenträgheitsmoment für Torsion ist doppelt so groß: I_p = π · d⁴ / 32.

Das axiale Widerstandsmoment des Vollkreises folgt aus I geteilt durch den Randabstand d / 2: W = (π · d⁴ / 64) / (d / 2) = π · d³ / 32. Es wird für die Biegespannung in Wellen, Achsen, Bolzen und Rundstäben gebraucht: σ_b = M_b / W.

Da d kubisch eingeht, lässt sich die Umstellung nach d direkt zur Vorbemessung nutzen: Aus dem Biegemoment und der zulässigen Spannung folgt das nötige W und daraus der Mindestdurchmesser d = ∛(32 · W / π).

Für Torsion gilt das polare Widerstandsmoment W_p = π · d³ / 16, also der doppelte Wert.

Rohre und Hohlwellen nutzen den Werkstoff besonders wirtschaftlich: Die Fläche nahe der neutralen Achse trägt zur Biegesteifigkeit kaum bei, deshalb kann sie entfallen. Das Flächenträgheitsmoment des Kreisrings ergibt sich als Differenz von Außen- und Innenkreis: I = π · (D⁴ − d⁴) / 64 mit dem Außendurchmesser D und dem Innendurchmesser d = D − 2 · t (t = Wanddicke).

Die Formel wird für Rohrstützen, Geländer, Rohrbrücken, Hohlwellen und Gerüstrohre gebraucht – überall dort, wo Durchbiegung oder Knicklast eines Rohrs zu prüfen sind. Für Standardrohre finden sich die Werte auch in Rohrtabellen (meist in cm⁴).

Der Rechner löst auch nach D oder d auf, etwa um bei gegebenem Innendurchmesser den nötigen Außendurchmesser für ein gefordertes I zu bestimmen.

Das Widerstandsmoment des Kreisrings folgt aus dem Flächenträgheitsmoment geteilt durch den Randabstand D / 2: W = π · (D⁴ − d⁴) / (32 · D). Es wird für die Biegespannung in Rohren, Hohlwellen, Geländerpfosten und Rohrträgern gebraucht: σ_b = M_b / W.

Die Umstellung nach dem Außendurchmesser D ist nicht geschlossen möglich (Gleichung vierten Grades); in der Praxis wird D aus der Rohrtabelle gewählt und W nachgerechnet. Die Umstellung nach dem Innendurchmesser d liefert bei gegebenem D den größten zulässigen Innendurchmesser bzw. die nötige Wanddicke für ein gefordertes W.

Für Torsion gilt das polare Widerstandsmoment W_p = π · (D⁴ − d⁴) / (16 · D), also der doppelte Wert.

Ein Biegemoment M_b erzeugt im Querschnitt eine linear über die Höhe verteilte Normalspannung: Zug auf der einen, Druck auf der anderen Seite, null in der neutralen Faser. Die größte Spannung tritt in der Randfaser auf und beträgt σ_b = M_b / W mit dem Widerstandsmoment W des Querschnitts. Diese Randspannung ist der Bemessungswert für Träger, Pfetten, Wellen, Achsen und Hebel.

Die Formel setzt gerade Biegung um eine Hauptachse voraus und gilt im linear-elastischen Bereich (Bernoulli-Hypothese: Querschnitte bleiben eben). Zusätzlich vorhandene Normal- oder Querkräfte sind hier nicht enthalten; bei schlanken Walzprofilen ist der Einfluss der Querkraft auf die Biegespannung in der Regel vernachlässigbar.

Einheiten: Das Biegemoment wird in N·mm eingesetzt (1 kN·m = 1 000 000 N·mm), W in mm³ (1 cm³ = 1 000 mm³), dann ergibt sich σ_b in N/mm².

Der Kragbalken (Kragarm, Konsole) ist an einem Ende fest eingespannt und am anderen frei. Eine Einzellast F am freien Ende erzeugt ein Biegemoment, das vom Lastangriff aus linear bis zum Maximum an der Einspannung ansteigt: M_max = F · L. Dort ist der Träger am höchsten beansprucht, und dort muss auch die Einspannung (Schweißnaht, Schrauben, Dübel) dieses Moment aufnehmen.

Typische Kragarme sind Konsolen für Rohrleitungen, Ausleger von Rohrbrücken, Vordächer, Balkonplatten, Kranausleger und auskragende Wellenenden. Die Querkraft ist über die ganze Länge konstant gleich F.

Für Eigengewicht oder eine Gleichlast q auf dem Kragarm gilt stattdessen M_max = q · L² / 2 (ebenfalls an der Einspannung).

Die Durchbiegung f am freien Ende eines Kragbalkens unter einer Einzellast F folgt aus der Biegelinie: f = F · L³ / (3 · E · I). Das Produkt E · I ist die Biegesteifigkeit; die Länge geht mit der dritten Potenz ein, sodass ein doppelt so langer Kragarm achtmal so stark durchhängt.

Die Formel gilt für konstanten Querschnitt, starre Einspannung und linear-elastisches Verhalten. Der Kragarm ist der Balkenfall mit der größten Durchbiegung: Bei gleicher Last und Länge biegt er sich 16-mal stärker durch als ein Zweistützbalken mit mittiger Last.

In der Praxis ist die Durchbiegung oft der maßgebende Nachweis, bevor die Spannung kritisch wird – etwa bei Konsolen, Vordächern oder Messaufbauten, bei denen eine Verformung von wenigen Millimetern bereits stört. Übliche Grenzwerte liegen je nach Anwendung in der Größenordnung von L/150 bis L/300 der Kragarmlänge.

Der Träger auf zwei Stützen (Einfeldträger, beidseitig gelenkig gelagert) ist der häufigste Balkenfall im Bauwesen und Maschinenbau. Greift eine Einzellast F genau in der Mitte an, nehmen beide Auflager je F / 2 auf, und das Biegemoment steigt von den Auflagern linear bis zum Maximum in Feldmitte: M_max = F · L / 4.

Typische Anwendungen sind Hallenträger mit einer Einzellast aus einer Laufkatze oder einem Lüftungsgerät, Achsen mit mittig sitzendem Rad, Wellen mit mittigem Zahnrad oder ein Träger, auf dem mittig eine Maschine steht.

Greift die Last nicht in der Mitte an, sondern im Abstand a vom linken und b vom rechten Auflager, gilt allgemein M_max = F · a · b / L (unter der Last). Die mittige Last ist der ungünstigste Fall.

Die größte Durchbiegung des Einfeldträgers mit mittiger Einzellast tritt in Feldmitte auf: f = F · L³ / (48 · E · I). Wie bei allen Biegelinien bestimmen die Biegesteifigkeit E · I und die dritte Potenz der Stützweite das Ergebnis.

Die Durchbiegung ist ein Gebrauchstauglichkeitsnachweis: Auch wenn die Spannung noch zulässig ist, dürfen Träger nicht so weit durchhängen, dass Decken reißen, Türen klemmen, Kranbahnen nicht mehr laufen oder Wellen in ihren Lagern verkanten. Übliche Grenzwerte sind L/300 für Deckenträger und Pfetten, L/500 bis L/1 000 für Kranbahnen und Wellen – die jeweilige Norm oder Herstellervorgabe ist maßgebend.

Der Rechner löst auch nach I auf: Damit lässt sich direkt das erforderliche Flächenträgheitsmoment für eine zulässige Durchbiegung bestimmen und daraus ein Profil wählen.

Gleichmäßig verteilte Lasten (Streckenlasten) sind der Normalfall im Bauwesen: Eigengewicht, Schnee, Deckenlasten, Rohrleitungen, Verkehrslasten. Für den beidseitig gelenkig gelagerten Träger unter der Gleichlast q verläuft das Biegemoment parabelförmig mit dem Maximum in Feldmitte: M_max = q · L² / 8. Die Auflagerkräfte betragen je q · L / 2.

Die Streckenlast q wird hier in N/mm eingesetzt; praxisüblich wird sie in kN/m angegeben, und es gilt 1 kN/m = 1 000 N / 1 000 mm = 1 N/mm. Dadurch bleibt die Umrechnung einfach – die Stützweite muss aber in mm stehen.

Die Formel ist die Grundlage der Bemessung von Pfetten, Deckenbalken, Unterzügen, Rohrbrückenträgern und Kranbahnträgern unter Eigengewicht.

Die größte Durchbiegung des Einfeldträgers unter Gleichlast liegt in Feldmitte: f = 5 · q · L⁴ / (384 · E · I). Die Stützweite geht hier mit der vierten Potenz ein – eine um 10 % größere Spannweite erhöht die Durchbiegung um rund 46 %. Deshalb ist bei weit gespannten Pfetten, Deckenbalken und Rohrbrückenträgern fast immer die Durchbiegung und nicht die Spannung maßgebend.

Die Formel setzt konstanten Querschnitt, konstante Streckenlast und beidseitig gelenkige Lagerung voraus. Übliche Grenzwerte liegen bei L/200 bis L/300, bei Decken mit empfindlichem Ausbau auch bei L/500.

Für Holz ist zu beachten, dass der E-Modul deutlich niedriger ist als bei Stahl (Nadelholz C24 längs zur Faser etwa 11 000 N/mm²) und dass unter Dauerlast zusätzlich Kriechverformungen auftreten.

Ein Torsionsmoment M_t (Drehmoment um die Wellenachse) erzeugt im Querschnitt Schubspannungen, die von null in der Mitte linear bis zum Maximum am Rand ansteigen. Für die Vollwelle mit Kreisquerschnitt beträgt die Randspannung τ_t = M_t / W_p mit dem polaren Widerstandsmoment W_p = π · d³ / 16, zusammengefasst τ_t = 16 · M_t / (π · d³).

Das Drehmoment einer Welle folgt aus Leistung und Drehzahl: M_t = 9 550 · P / n (M_t in N·m, P in kW, n in 1/min). Es wird hier in N·mm eingesetzt (1 N·m = 1 000 N·mm).

Die Umstellung nach d dient der Vorbemessung von Wellen: Aus dem Drehmoment und der zulässigen Torsionsspannung ergibt sich der Mindestdurchmesser. Für die überschlägige Vorbemessung werden bewusst niedrige zulässige Torsionsspannungen angesetzt (für Stahlwellen mit Passfedernut häufig nur rund 20 bis 30 N/mm²), weil Kerbwirkung und überlagerte Biegung darin noch nicht erfasst sind. Der genaue Nachweis erfolgt nach DIN 743.

Schlanke Druckstäbe versagen nicht durch Überschreiten der Druckfestigkeit, sondern durch seitliches Ausknicken – oft bei Spannungen weit unterhalb der Streckgrenze. Die Eulersche Knicklast F_k ist die kritische Druckkraft, bei der ein ideal gerader, elastischer Stab instabil wird: F_k = π² · E · I / L_k². Maßgebend ist das kleinste Flächenträgheitsmoment des Querschnitts (der Stab knickt um die schwache Achse) und die Knicklänge L_k.

Die Knicklänge hängt von der Lagerung ab (Euler-Fälle): Fall 2 – beidseitig gelenkig – ist der Grundfall mit L_k = L und wird hier gerechnet. Für die anderen Fälle wird die Stablänge umgerechnet: Fall 1 (unten eingespannt, oben frei) L_k = 2 · L, Fall 3 (eingespannt/gelenkig) L_k ≈ 0,7 · L, Fall 4 (beidseitig eingespannt) L_k = 0,5 · L.

Die Euler-Formel gilt nur im elastischen Bereich, also für schlanke Stäbe oberhalb der Grenzschlankheit λ₀ (für S235 rund 105). Die Schlankheit ist λ = L_k / i mit dem Trägheitsradius i = √(I / A). Gedrungene Stäbe darunter werden nach Tetmajer oder mit den Knickspannungslinien nach DIN EN 1993-1-1 nachgewiesen. Da Knicken schlagartig eintritt, werden hohe Sicherheiten angesetzt (im Maschinenbau S = 3 bis 5).

Die Sicherheit S gegen Fließen ist das Verhältnis aus der Streckgrenze R_e des Werkstoffs (bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Streckgrenze die 0,2-%-Dehngrenze R_p0,2) und der im Bauteil vorhandenen Spannung σ_vorh. Sie sagt aus, um welchen Faktor die Belastung steigen dürfte, bevor der Werkstoff plastisch zu fließen beginnt. S = 1 bedeutet: Die Streckgrenze ist gerade erreicht.

Die Sicherheit deckt Unsicherheiten in Lastannahmen, Werkstoffstreuung, Fertigungstoleranzen und Rechenmodell ab. Übliche Mindestwerte gegen Fließen bei ruhender Belastung liegen im Maschinenbau bei etwa 1,2 bis 2,0; gegen Bruch (bezogen auf die Zugfestigkeit R_m) bei 2 bis 4, gegen Knicken bei 3 bis 5. Im Bauwesen wird stattdessen mit Teilsicherheitsbeiwerten auf Last- und Widerstandsseite gerechnet (Eurocodes), was im Ergebnis auf vergleichbare Gesamtsicherheiten hinausläuft.

Für σ_vorh ist bei zusammengesetzter Beanspruchung (Zug und Biegung, Biegung und Torsion) die Vergleichsspannung einzusetzen; bei reiner Schubbeanspruchung wird mit der Schubfließgrenze τ_F ≈ 0,58 · R_e verglichen.

Die zulässige Spannung σ_zul ist die Streckgrenze R_e geteilt durch die geforderte Sicherheit S. Sie ist der Vergleichswert für die Bemessung: Ein Bauteil ist ausreichend dimensioniert, wenn die vorhandene Spannung σ_vorh ≤ σ_zul bleibt. Die Formel ist die Umkehrung der Sicherheitsformel und wird vor allem für die Vorbemessung genutzt – zuerst wird σ_zul festgelegt, daraus folgen der erforderliche Querschnitt (A = F / σ_zul) oder das erforderliche Widerstandsmoment (W = M_b / σ_zul).

Für Biegung wird häufig σ_b,zul, für Torsion τ_t,zul angegeben; Tabellenbücher enthalten dafür Richtwerte je nach Werkstoff und Belastungsart (ruhend, schwellend, wechselnd). Bei dynamischer Belastung wird nicht die Streckgrenze, sondern die Dauerfestigkeit als Bezugswert verwendet, und die zulässigen Werte liegen deutlich niedriger.

Schubbeanspruchungen (Abscheren, Torsion) werden näherungsweise mit τ_zul ≈ 0,58 · σ_zul bewertet (Gestaltänderungsenergie-Hypothese).