Mechanik – Statik & Dynamik

Das Newtonsche Grundgesetz (2. Newtonsches Axiom, Aktionsprinzip) verknüpft die auf einen Körper wirkende resultierende Kraft F mit seiner Masse m und der Beschleunigung a, die er dadurch erfährt. Kraft und Beschleunigung zeigen in dieselbe Richtung; die Masse ist das Maß für die Trägheit des Körpers.

F ist dabei die Summe aller angreifenden Kräfte (Antriebskraft minus Reibung, Hangabtrieb usw.). Wirkt keine resultierende Kraft, bleibt die Geschwindigkeit konstant. In der Praxis liefert die Formel die zusätzliche Antriebskraft beim Anfahren eines Fahrzeugs, eines Förderbands oder eines Kranlaufwerks, aber auch die Trägheitskräfte beim Bremsen und in Pressen.

Die Gewichtskraft F_G ist die Kraft, mit der die Erde einen Körper anzieht. Sie ergibt sich aus der Masse m und der Fallbeschleunigung g, die in Mitteleuropa rund 9,81 m/s² beträgt. Sie wirkt immer senkrecht nach unten, also zum Erdmittelpunkt.

Im Alltag wird „Gewicht“ oft für die Masse in Kilogramm benutzt; in der Technik ist die Gewichtskraft eine Kraft in Newton. Eine Masse von 1 kg hat eine Gewichtskraft von rund 9,81 N. Die Gewichtskraft ist die Ausgangsgröße fast jeder Lastrechnung: Seilkräfte am Kran, Auflagerkräfte eines Trägers, Normalkraft für die Reibung, Hubkraft eines Hebezeugs.

Das Drehmoment M beschreibt die Drehwirkung einer Kraft F um einen Drehpunkt. Es ist das Produkt aus der Kraft und dem Hebelarm r, dem senkrechten Abstand zwischen Drehpunkt und Wirkungslinie der Kraft. Die Formel in dieser Form gilt, wenn die Kraft senkrecht zum Hebelarm angreift; bei schräg angreifender Kraft wirkt nur die senkrechte Komponente F · sin φ.

In der Praxis ist das Drehmoment die zentrale Größe beim Anziehen von Schrauben, an Motor- und Getriebewellen, an Hebeln und Kurbeln. Als Vorzeichenkonvention gilt in der Statik: Drehmomente gegen den Uhrzeigersinn sind positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Die Einheit N·m hat denselben Aufbau wie das Joule der Arbeit, bezeichnet aber eine ganz andere physikalische Größe.

Das Hebelgesetz ist das Momentengleichgewicht an einem drehbar gelagerten Hebel: Im Gleichgewicht ist das Drehmoment der Kraft F₁ (Kraft mal Kraftarm l₁) gleich dem Drehmoment der Last F₂ (Last mal Lastarm l₂). Die Hebelarme sind die senkrechten Abstände der Kraftwirkungslinien zum Drehpunkt.

Die Formel gilt für einseitige Hebel (beide Kräfte auf derselben Seite des Drehpunkts, z. B. Schubkarre, Brechstange auf einem Stein) und zweiseitige Hebel (Kräfte auf verschiedenen Seiten, z. B. Wippe, Zange). Sie steckt in Brechstange, Schraubenschlüssel, Zange, Kipphebel, Balkenwaage und in jeder Auflagerrechnung eines Trägers. Das Eigengewicht des Hebels wird dabei vernachlässigt oder als zusätzliche Last im Schwerpunkt berücksichtigt.

Eine schräg angreifende Kraft F lässt sich in zwei senkrecht zueinander stehende Komponenten zerlegen. Die Komponente in x-Richtung (meist waagerecht) ergibt sich aus F und dem Winkel α zwischen der Kraftrichtung und der x-Achse über den Kosinus. Die Zerlegung folgt direkt aus dem rechtwinkligen Dreieck, das Kraft und Komponenten aufspannen.

Typische Anwendungen: die ziehende Komponente eines schräg angestellten Seils, die Vorschubkraft bei schräger Werkzeugkraft, die waagerechte Last einer Abspannung auf einen Mast. Konvention: α wird von der x-Achse zur Kraftrichtung gemessen, hier im Bereich 0° bis 90°. Bei α = 0° wirkt die gesamte Kraft in x-Richtung, bei α = 90° gar nichts.

Die Komponente einer schräg angreifenden Kraft F in y-Richtung (meist senkrecht) ergibt sich aus F und dem Winkel α zwischen Kraftrichtung und x-Achse über den Sinus. Zusammen mit der x-Komponente beschreibt sie die Kraft vollständig: F² = F_x² + F_y².

In der Praxis ist die y-Komponente zum Beispiel die hebende Wirkung eines schräg gezogenen Seils, die senkrechte Last einer Abspannung auf das Fundament oder die Andruckkraft eines schräg angesetzten Werkzeugs. Konvention wie bei der x-Komponente: α wird von der x-Achse zur Kraftrichtung gemessen, 0° bis 90°.

Greifen zwei Kräfte F₁ und F₂ im selben Punkt an, lassen sie sich zu einer Resultierenden F_R zusammenfassen. Ihr Betrag folgt aus dem Kräfteparallelogramm mit dem Kosinussatz; γ ist der Winkel zwischen den beiden Kraftrichtungen. Für γ = 90° wird die Formel zum Satz des Pythagoras, für γ = 0° addieren sich die Beträge, für γ = 180° wird die Differenz gebildet.

Typische Anwendungen: zwei Seile an einem Anschlagpunkt, zwei Abspannungen an einem Mast, Vorschub- und Schnittkraft an einem Werkzeug, Wind- und Gewichtslast an einer Konstruktion. Die Formel liefert nur den Betrag der Resultierenden; ihre Richtung ergibt sich aus der Zerlegung in Komponenten.

Nach dem Hookeschen Gesetz ist die Kraft F einer Feder proportional zu ihrem Federweg x, also zur Verlängerung oder Verkürzung gegenüber der entspannten Länge. Der Proportionalitätsfaktor ist die Federrate k (auch Federkonstante oder Federsteifigkeit), die angibt, wie viel Kraft je Millimeter Federweg nötig ist. Eine Feder mit k = 25 N/mm braucht also 25 N für jeden Millimeter.

Die Formel gilt im linear-elastischen Bereich, solange die Feder nach Entlastung in ihre Ausgangslänge zurückkehrt und die Windungen nicht auf Block gehen. In der Praxis werden damit Ventilfedern, Rückstellfedern, Druckfedern in Kupplungen und Federpakete in Schwingungsdämpfern ausgelegt. Die Einheit N/mm ist im Maschinenbau üblich; 1 N/mm = 1 000 N/m = 1 kN/m.

Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α wirkt die Gewichtskraft m · g senkrecht nach unten. Zerlegt man sie in eine Komponente parallel zur Ebene und eine senkrecht dazu, ergibt sich die Hangabtriebskraft F_H = m · g · sin α. Sie zieht den Körper hangabwärts und muss vom Antrieb, der Haltekraft oder der Reibung aufgenommen werden.

In der Praxis bestimmt die Hangabtriebskraft die Zugkraft an Rampen und Förderbändern mit Steigung, die Haltekraft einer Seilwinde am Hang oder die Bremskraft eines auf der Rampe stehenden Fahrzeugs. Ist die Steigung in Prozent gegeben, folgt der Winkel aus α = arctan(p / 100); 10 % Steigung entsprechen 5,7°.

Die Normalkraft F_N ist die Komponente der Gewichtskraft, die senkrecht (normal) auf die Auflagefläche drückt. Auf einer um α geneigten Ebene beträgt sie m · g · cos α; auf waagerechtem Boden (α = 0°) ist sie gleich der Gewichtskraft. Mit zunehmender Neigung nimmt die Normalkraft ab, während der Hangabtrieb zunimmt.

Die Normalkraft ist die Bezugsgröße für die Reibung: Reibungskräfte sind proportional zu F_N, nicht zur Gewichtskraft. Wer Reibung an Rampen, Rutschen oder geneigten Förderbändern rechnet, braucht daher zuerst die Normalkraft. Dieselbe Konvention wie beim Hangabtrieb: α ist der Winkel gegen die Waagerechte.

Die Gleitreibungskraft F_R wirkt zwischen zwei aufeinander gleitenden Flächen entgegen der Bewegungsrichtung. Nach dem Coulombschen Reibungsgesetz ist sie proportional zur Normalkraft F_N, mit der die Flächen aufeinandergedrückt werden; der Proportionalitätsfaktor ist die Gleitreibungszahl μ. Sie hängt von der Werkstoffpaarung, dem Oberflächenzustand und der Schmierung ab, aber in guter Näherung nicht von der Größe der Berührfläche und nur wenig von der Gleitgeschwindigkeit.

Zu unterscheiden sind Haftreibung und Gleitreibung: Solange ein Körper ruht, kann die Haftreibung jeden Wert bis zum Maximum μ₀ · F_N annehmen – erst wenn die angreifende Kraft dieses Maximum überschreitet, setzt sich der Körper in Bewegung. Danach wirkt die (kleinere) Gleitreibung μ · F_N. Deshalb ist Losreißen schwerer als Weiterschieben, und deshalb bremst ein blockierendes Rad schlechter als ein rollendes. In der Praxis liefert die Formel die Verschiebekraft für Kisten und Maschinen, die Bremskraft von Bremsbelägen und die Haltekraft von Klemmverbindungen.

Bei einer gleichförmigen Bewegung legt ein Körper in gleichen Zeiten gleiche Wege zurück; seine Geschwindigkeit v ist konstant und ergibt sich als Quotient aus Weg s und Zeit t. Es wirkt keine resultierende Kraft – Antrieb und Widerstände halten sich die Waage.

Die Formel ist die Grundlage für Förderbänder, Fahrzeuge mit konstanter Geschwindigkeit, Vorschübe an Werkzeugmaschinen und jede Taktzeitrechnung. Bei veränderlicher Geschwindigkeit liefert sie die mittlere Geschwindigkeit über die Strecke. Für Fahrzeuge ist die Umrechnung in km/h hilfreich: 1 m/s = 3,6 km/h.

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung nimmt die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um denselben Betrag a zu. Startet der Körper aus dem Stand (v₀ = 0), ist seine Geschwindigkeit nach der Zeit t gleich a · t. Die Geschwindigkeit wächst also linear mit der Zeit.

Die Formel beschreibt das Anfahren von Fahrzeugen, Förderbändern, Kranlaufwerken und Hubwerken ebenso wie – mit negativer Beschleunigung – das Abbremsen bis zum Stillstand. Mit Anfangsgeschwindigkeit v₀ lautet die allgemeine Form v = v₀ + a · t.

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung aus dem Stand wächst der zurückgelegte Weg mit dem Quadrat der Zeit: s = ½ · a · t². Die Formel folgt daraus, dass die mittlere Geschwindigkeit in dieser Zeit die Hälfte der Endgeschwindigkeit a · t ist. Doppelte Zeit bedeutet also vierfachen Weg.

Typische Anwendungen sind Anfahrstrecken von Fahrzeugen und Förderbändern, Beschleunigungswege von Kranlaufwerken und – mit a = g – der freie Fall. Mit Anfangsgeschwindigkeit lautet die allgemeine Form s = v₀ · t + ½ · a · t².

Wird ein Körper mit der konstanten Verzögerung a von der Geschwindigkeit v bis zum Stillstand abgebremst, legt er dabei den Weg s = v² / (2 · a) zurück. Dieselbe Formel liefert umgekehrt den Weg, den ein Körper aus dem Stand braucht, um mit der Beschleunigung a die Geschwindigkeit v zu erreichen. Sie entsteht aus v = a · t und s = ½ · a · t² durch Eliminieren der Zeit.

Wichtig ist die quadratische Abhängigkeit: doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfachen Bremsweg. Die maximal mögliche Verzögerung eines Fahrzeugs ist durch die Reibung begrenzt: a_max ≈ μ · g, auf trockenem Asphalt also rund 7 bis 8 m/s², auf nasser Fahrbahn etwa 5 m/s². Die Formel wird für Fahrzeuge, Kranlaufwerke, Förderbänder und Auslaufwege von Maschinen gebraucht.

Beim freien Fall wird ein Körper allein durch die Fallbeschleunigung g beschleunigt; Luftwiderstand wird vernachlässigt. Aus der Ruhe losgelassen, legt er in der Zeit t die Fallhöhe h = ½ · g · t² zurück – ein Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit a = g. Die Fallgeschwindigkeit beträgt dabei v = g · t.

Die Formel wird auf der Baustelle für die Beurteilung von Absturz- und Fallgefahren gebraucht, in der Fördertechnik für Fallstrecken von Schüttgut und in der Prüftechnik für Fallversuche. Für kompakte, schwere Körper und Fallhöhen von einigen Metern ist die Näherung ohne Luftwiderstand gut; für leichte oder flächige Körper (Blech, Folie) oder große Höhen nicht.

Die Umfangsgeschwindigkeit v ist die Geschwindigkeit eines Punktes am Umfang eines rotierenden Körpers mit dem Durchmesser d. Bei jeder Umdrehung legt der Punkt den Umfang π · d zurück; mit der Drehzahl n in Umdrehungen je Minute ergibt sich v = π · d · n / 60 in m/s. Mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2 · π · n / 60 lautet dieselbe Beziehung v = ω · r.

In der Praxis bestimmt die Formel die Bandgeschwindigkeit einer Förderbandtrommel, die Riemengeschwindigkeit an Riemenscheiben, die Umfangsgeschwindigkeit von Schleifscheiben (Sicherheitsgrenze) und die Schnittgeschwindigkeit beim Drehen und Fräsen. Dort wird üblicherweise v_c in m/min mit d in mm angegeben: v_c = π · d · n / 1 000.

Ein Körper, der sich mit der Bahngeschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r bewegt, wird ständig zum Mittelpunkt hin beschleunigt – sonst würde er geradeaus weiterfliegen. Die dafür nötige Zentripetalkraft F_z = m · v² / r zeigt zum Kreismittelpunkt. Sie wird je nach Anwendung von der Reifenreibung (Fahrzeug in der Kurve), der Seilkraft, der Schienenführung oder der Werkstofffestigkeit (rotierende Scheibe) aufgebracht.

Im mitrotierenden Bezugssystem erscheint dieselbe Kraft als nach außen gerichtete Trägheitskraft, die Zentrifugalkraft (Fliehkraft); beide haben denselben Betrag. Die Formel wird für Kurvenfahrten, Zentrifugen, Unwuchtkräfte an Wellen, Fliehkraftkupplungen und die Festigkeit von Schwungrädern und Schleifscheiben gebraucht. Mit der Drehzahl n in 1/min ergibt sich v = 2 · π · r · n / 60.

Mechanische Arbeit W wird verrichtet, wenn eine Kraft F einen Körper längs eines Weges s bewegt. Bei konstanter Kraft in Wegrichtung ist W = F · s. Die Einheit ist das Joule: 1 J = 1 N·m = 1 W·s. Wirkt die Kraft schräg zum Weg, zählt nur die Komponente in Wegrichtung: W = F · s · cos α; senkrecht zum Weg wird keine Arbeit verrichtet.

In der Praxis unterscheidet man Hubarbeit (F = Gewichtskraft, s = Hubhöhe), Reibungsarbeit (F = Reibungskraft), Beschleunigungsarbeit und Federarbeit (hier wächst die Kraft mit dem Weg, daher W = ½ · k · x²). Arbeit und Energie sind dieselbe Größe: Die verrichtete Hubarbeit steckt anschließend als potentielle Energie in der Last. Für Energiebilanzen ist die Umrechnung 1 kWh = 3,6 MJ = 3 600 kJ nützlich.

Die Leistung P gibt an, wie viel Arbeit W in der Zeit t verrichtet wird. Die Einheit ist das Watt: 1 W = 1 J/s. Dieselbe Hubarbeit in der halben Zeit erfordert die doppelte Leistung – deshalb bestimmt nicht die Last allein, sondern Last und Geschwindigkeit die Motorgröße eines Hubwerks.

Die Formel liefert die mittlere Leistung über den Zeitraum t. Sie wird für Hubwerke, Pumpen, Pressen und jede Energiebilanz gebraucht, bei der aus Arbeit und Zeit die nötige Antriebsleistung folgt. Umgekehrt ergibt sich aus Leistung und Laufzeit die verrichtete Arbeit: W = P · t, in der Energiewirtschaft als kWh (1 kW · 1 h).

Wird eine Kraft F mit der konstanten Geschwindigkeit v in ihrer Wirkungsrichtung bewegt, beträgt die Leistung P = F · v. Die Formel folgt aus P = W / t mit W = F · s und v = s / t. Sie ist die Standardformel für Hubwerke (F = Gewichtskraft der Last, v = Hubgeschwindigkeit), Förderbänder (F = Summe der Widerstände, v = Bandgeschwindigkeit), Seilwinden, Fahrantriebe und Vorschubantriebe.

Das Ergebnis ist die mechanisch abgegebene Leistung an der Last. Die elektrische Aufnahmeleistung des Antriebs ist um den Wirkungsgrad von Motor, Getriebe und Seiltrieb größer. Mit F in N und v in m/s ergibt sich P in W (1 N · 1 m/s = 1 W).

An einer rotierenden Welle ist die Leistung das Produkt aus Drehmoment M und Winkelgeschwindigkeit ω. Mit der Drehzahl n in Umdrehungen je Minute gilt ω = 2 · π · n / 60 und damit P = 2 · π · n · M / 60 – mit M in N·m und n in 1/min ergibt sich P in W. In der Praxis ist die Zahlenwertgleichung P = M · n / 9 550 (P in kW) weit verbreitet; sie ist dieselbe Beziehung.

Die Formel ist das zentrale Werkzeug der Antriebstechnik: Aus Motorleistung und Drehzahl folgt das verfügbare Drehmoment an der Welle, aus dem geforderten Drehmoment und der Drehzahl die nötige Motorleistung. Bei gleicher Leistung bedeutet eine niedrigere Drehzahl (z. B. hinter einem Getriebe) ein entsprechend höheres Drehmoment.

Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) E_kin eines Körpers hängt von seiner Masse m und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit v ab. Sie entspricht der Arbeit, die nötig war, den Körper aus dem Stand auf v zu beschleunigen – und der Arbeit, die eine Bremse in Wärme umsetzen muss, um ihn wieder anzuhalten. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Energie.

Die Formel gilt für die Translation (geradlinige Bewegung) eines Körpers; rotierende Teile (Schwungrad, Rotor) haben zusätzlich Rotationsenergie ½ · J · ω². In der Praxis wird sie für Bremsauslegung, Aufprallenergie, Puffer und Anschläge, Schwungmassen und die Energiebilanz von Fahrzeugen gebraucht. Mit m in kg und v in m/s ergibt sich E_kin in J.

Die potentielle Energie (Lageenergie) E_pot ist die Energie, die ein Körper aufgrund seiner Höhe h über einem Bezugsniveau im Schwerefeld besitzt. Sie ist gleich der Hubarbeit, die nötig war, ihn dorthin zu heben: Gewichtskraft m · g mal Hubhöhe h. Beim Absenken wird sie wieder frei – als kinetische Energie, als Arbeit oder, über eine Bremse, als Wärme.

Das Bezugsniveau (h = 0) ist frei wählbar; nur Höhenunterschiede sind physikalisch bedeutsam. In der Praxis wird die Formel für Hubarbeit von Kranen und Aufzügen, für Pumpspeicher und Hochbehälter (hier mit der Wassermasse), für Fallenergie bei Absturz und für Gegengewichte gebraucht. Mit m in kg, g in m/s² und h in m ergibt sich E_pot in J.

Der Wirkungsgrad η (eta) ist das Verhältnis von abgegebener Nutzleistung P_ab zu zugeführter Leistung P_zu. Er ist dimensionslos und liegt zwischen 0 und 1; die Differenz P_zu − P_ab ist die Verlustleistung, die als Wärme abgeführt wird. In der Praxis wird η meist in Prozent angegeben: η = 0,85 entspricht 85 %.

Dieselbe Beziehung gilt für Arbeit bzw. Energie: η = W_ab / W_zu. Bei hintereinandergeschalteten Maschinen (Motor → Getriebe → Seiltrieb) multiplizieren sich die Einzelwirkungsgrade zum Gesamtwirkungsgrad. Typische Werte: Elektromotoren 0,8 bis 0,96, Stirnradgetriebe 0,97 je Stufe, Schneckengetriebe 0,5 bis 0,9, Verbrennungsmotoren 0,25 bis 0,45, Pumpen 0,5 bis 0,85.

Die Dichte ρ (rho) ist das Verhältnis von Masse m zu Volumen V eines Stoffes. Sie ist eine Stoffkonstante: Stahl hat rund 7 850 kg/m³, Aluminium 2 700 kg/m³, Wasser 1 000 kg/m³. Aus Dichte und Volumen lässt sich die Masse eines Bauteils berechnen, bevor es existiert – das ist die Grundlage jeder Gewichtsabschätzung für Transport, Kranauswahl und Statik.

Die Dichte ist temperaturabhängig (Stoffe dehnen sich bei Erwärmung aus) und bei Gasen zusätzlich druckabhängig; für Feststoffe und Flüssigkeiten bei Raumtemperatur reichen die Tabellenwerte. Gängige Umrechnung: 1 000 kg/m³ = 1 kg/dm³ = 1 g/cm³ = 1 kg/l. Nicht zu verwechseln mit der Wichte (spezifisches Gewicht) γ = ρ · g in N/m³, die im Bauwesen für Lasten verwendet wird.