Thermodynamik & Wärmeübertragung

Die sensible („fühlbare“) Wärme ist die Energie, die ein Stoff aufnimmt oder abgibt, wenn sich seine Temperatur ändert, ohne dass er dabei schmilzt oder verdampft. Sie ist proportional zur Masse m, zur spezifischen Wärmekapazität c (der Energie, die 1 kg des Stoffs um 1 K erwärmt) und zur Temperaturdifferenz ΔT. Die Vorzeichenkonvention lautet: ΔT = Endtemperatur − Anfangstemperatur; ein positives Q bedeutet zugeführte Wärme (Erwärmung), ein negatives Q abgegebene Wärme (Abkühlung).

In der Praxis ist das die Grundformel für Pufferspeicher, Warmwasserbereitung, Heizkreise, Kühlwasser und jede Energiebilanz, in der ein Medium erwärmt oder abgekühlt wird. Mit der Umrechnung 1 kWh = 3 600 kJ lässt sich das Ergebnis direkt mit Zählerständen, Kesselleistungen oder Energiekosten vergleichen.

Latente („verborgene“) Wärme ist die Energie, die ein Stoff beim Schmelzen oder Verdampfen aufnimmt bzw. beim Erstarren oder Kondensieren wieder abgibt – und zwar bei konstanter Temperatur. Die spezifische Schmelzwärme bzw. Verdampfungswärme L (auch Schmelz- oder Verdampfungsenthalpie) gibt an, wie viel Energie je Kilogramm für den Phasenwechsel nötig ist. Für Wasser sind das 334 kJ/kg beim Schmelzen und 2 257 kJ/kg beim Verdampfen bei 100 °C – das Verdampfen von 1 kg Wasser braucht also fast siebenmal so viel Energie wie das Erwärmen von 0 auf 80 °C.

In der Praxis zählt die latente Wärme bei Eisspeichern für Wärmepumpen, Latentwärmespeichern (PCM), Dampferzeugern, der Kondensation im Brennwertkessel und bei Kältemitteln, deren Verdampfen und Kondensieren den Kreisprozess der Wärmepumpe trägt.

Werden zwei Mengen desselben Stoffs (z. B. Warm- und Kaltwasser) ohne Wärmeverluste gemischt, gibt die wärmere so viel Wärme ab, wie die kältere aufnimmt. Aus dieser Energiebilanz folgt die Richmannsche Mischungsregel: Die Mischungstemperatur ist der mit den Massen gewichtete Mittelwert der Ausgangstemperaturen. Weil nur Temperaturdifferenzen eingehen, kann direkt in °C gerechnet werden.

Typische Anwendungen sind das Mischen von Warm- und Kaltwasser an Zapfstellen und Mischern, das Nachspeisen eines Speichers, Rücklaufbeimischung im Heizkreis oder das Abschätzen der Speichertemperatur nach einer Entnahme. Die Umstellungen nach m₁ oder m₂ beantworten die umgekehrte Frage: Wie viel Kaltwasser muss zugemischt werden, um eine gewünschte Zieltemperatur zu erreichen?

Strömt ein Medium mit dem Massenstrom ṁ durch einen Wärmeübertrager, Kessel oder Heizkreis und ändert dabei seine Temperatur um ΔT, dann ist die übertragene Wärmeleistung (der Wärmestrom) Q̇ = ṁ · c · ΔT. Es ist dieselbe Beziehung wie für die Wärmemenge, nur je Zeiteinheit: aus Kilogramm wird Kilogramm je Sekunde, aus Kilojoule wird Kilojoule je Sekunde, also Kilowatt. ΔT heißt in der Heizungstechnik Spreizung (Vorlauf- minus Rücklauftemperatur).

Die Formel dient zur Leistungsmessung an Wärmeübergabestationen, zur Auslegung von Wärmeübertragern, Kühlkreisen und Heizregistern sowie zur Kontrolle, ob ein Kessel oder eine Wärmepumpe die angegebene Leistung tatsächlich abgibt. Ist statt des Massenstroms der Volumenstrom in m³/h bekannt, gilt ṁ = V̇ · ρ / 3 600 (Wasser: ρ ≈ 1 000 kg/m³, Luft: ρ ≈ 1,2 kg/m³); der Heizkreis-Rechner mit V̇ in m³/h steht im Bereich TGA.

Flüssigkeiten dehnen sich bei Erwärmung aus. Für nicht zu große Temperaturbereiche ist die Volumenzunahme ΔV proportional zum Ausgangsvolumen V₀, zur Temperaturdifferenz ΔT und zum Volumenausdehnungskoeffizienten γ (gamma), einem Stoffwert in 1/K. Bei Wasser ist γ stark temperaturabhängig: bei 20 °C rund 0,21 · 10⁻³ 1/K, bei 60 °C schon 0,52 · 10⁻³ 1/K; bei 4 °C ist γ null (Dichteanomalie). Für einen Temperaturbereich muss deshalb ein mittlerer Wert verwendet werden.

In der Praxis bestimmt die Wärmeausdehnung das nötige Ausdehnungsvolumen in Heizungs-, Solar- und Trinkwarmwasseranlagen (Membran-Ausdehnungsgefäß, Sicherheitsventil), die Füllmenge von Öltanks und Ölbädern sowie Längen- und Volumenänderungen in geschlossenen Systemen. Die Formel ist eine lineare Näherung; wo es genau sein muss, rechnet man direkt mit den Dichten bei Anfangs- und Endtemperatur (ΔV/V₀ = ρ_Anfang/ρ_Ende − 1).

Die Kelvin-Skala ist die absolute Temperaturskala: Ihr Nullpunkt (0 K = −273,15 °C) ist der absolute Nullpunkt, an dem keine thermische Bewegung mehr stattfindet. Die Celsius-Skala ist um 273,15 verschoben, die Schrittweite ist gleich: Eine Temperaturdifferenz von 1 K ist dasselbe wie eine Differenz von 1 °C. Deshalb werden Temperaturdifferenzen (Spreizung, ΔT) in Kelvin angegeben, absolute Temperaturen in der Praxis meist in °C.

Alle Formeln, in denen die Temperatur als Faktor oder Potenz auftritt – ideales Gasgesetz, Zustandsänderungen, Wärmestrahlung, Carnot-Wirkungsgrad, Leistungszahl – verlangen die absolute Temperatur in Kelvin. Diese Umrechnung ist dafür der erste Schritt.

Die Fahrenheit-Skala wird vor allem in den USA verwendet und taucht in Datenblättern, Betriebsanleitungen und Software importierter Geräte auf. Sie hat eine andere Schrittweite (1 K = 1,8 °F) und einen anderen Nullpunkt: 0 °C entsprechen 32 °F, 100 °C entsprechen 212 °F. Beide Skalen treffen sich bei −40 °C = −40 °F.

Für die Umrechnung von Temperaturdifferenzen gilt nur der Faktor 1,8 (ohne die 32): Eine Spreizung von 10 K sind 18 °F.

Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase verknüpft Druck p, Volumen V, Masse m und absolute Temperatur T über die spezifische Gaskonstante R_s. Sie ist der Stoffwert des jeweiligen Gases und ergibt sich aus der universellen Gaskonstante R = 8,314 J/(mol·K) geteilt durch die molare Masse: für Luft 287 J/(kg·K), für Wasserdampf 462 J/(kg·K). Entscheidend sind die Einheiten: p als Absolutdruck in Pascal (Überdruck + Umgebungsdruck ≈ 1,013 bar), V in m³, T in Kelvin.

Luft, Stickstoff, Sauerstoff, Wasserstoff und Erdgas verhalten sich bis etwa 20 bar und fern der Kondensation nahezu ideal (Abweichung meist unter 1 bis 2 %). Mit der Gleichung lassen sich die Luftmasse in einem Druckluftbehälter, der Inhalt einer Gasflasche, die Dichte von Luft bei beliebiger Temperatur (ρ = m/V = p / (R_s · T)) oder die Volumenänderung beim Erwärmen bestimmen. Wasserdampf nahe der Sättigung und CO₂ bei hohem Druck weichen deutlicher ab – dafür sind Dampftafeln bzw. Realgasgleichungen nötig.

Bleibt die Temperatur eines idealen Gases konstant (isotherm), ist das Produkt aus Druck und Volumen unveränderlich: p₁ · V₁ = p₂ · V₂ (Gesetz von Boyle-Mariotte). Halbiert sich das Volumen, verdoppelt sich der Druck. Isotherm verläuft eine Zustandsänderung, wenn sie so langsam abläuft, dass die Kompressionswärme vollständig an die Umgebung abfließen kann – oder wenn das Gas aktiv gekühlt wird.

Typische Anwendungen: das Gaspolster im Membran-Ausdehnungsgefäß (langsame Druckänderungen mit dem Anlagendruck), Druckluftspeicher, die langsam gefüllt oder entleert werden, oder die Abschätzung, wie viel entspannte Luft in einer Druckluftflasche steckt. Da nur Verhältnisse eingehen, können p und V in beliebigen, aber gleichen Einheiten eingesetzt werden – p jedoch immer als Absolutdruck.

Bei konstantem Druck (isobar) ist das Volumen eines idealen Gases proportional zur absoluten Temperatur: V₁/T₁ = V₂/T₂ (1. Gesetz von Gay-Lussac, auch Gesetz von Charles). Eine Erwärmung von 0 °C auf 273 °C verdoppelt das Volumen; je Kelvin dehnt sich das Gas um 1/273 seines Volumens bei 0 °C aus. Die Temperaturen müssen deshalb in Kelvin eingesetzt werden.

In der Praxis beschreibt die Formel, wie sich Luft beim Erwärmen im Heizregister oder beim Abkühlen im Kühler ausdehnt bzw. zusammenzieht – und damit, warum Volumenströme in der Lüftungstechnik immer auf eine Bezugstemperatur bezogen werden. Ebenso folgt daraus die Dichteänderung von Luft (Dichte umgekehrt proportional zu T), die für Auftrieb, Kaminzug und Luftmassenströme wichtig ist.

Bei konstantem Volumen (isochor) ist der Druck eines idealen Gases proportional zur absoluten Temperatur: p₁/T₁ = p₂/T₂ (Gesetz von Amontons, auch 2. Gesetz von Gay-Lussac). Ein Gas in einem starren, geschlossenen Behälter – Druckluftbehälter, Gasflasche, Reifen, abgesperrter Rohrabschnitt – erhöht seinen Druck mit jedem Kelvin um rund 1/273 des Drucks bei 0 °C. Die Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden, die Drücke sind Absolutdrücke.

In der Praxis erklärt die Formel, warum der Reifendruck im Sommer steigt, warum Gasflaschen vor Sonne geschützt werden und wie stark der Druck in einem Druckluftbehälter zwischen Sommer und Winter schwankt. Da nur Verhältnisse eingehen, können die Drücke in bar (absolut) eingegeben werden.

Verläuft eine Verdichtung oder Entspannung so schnell, dass praktisch keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird, heißt die Zustandsänderung adiabat (reibungsfrei: isentrop). Dann gilt p₁ · V₁^κ = p₂ · V₂^κ mit dem Isentropenexponenten κ (kappa) = c_p/c_v, für Luft und andere zweiatomige Gase etwa 1,4. Weil die Kompressionsarbeit im Gas bleibt, steigt bei der Verdichtung neben dem Druck auch die Temperatur: T₂ = T₁ · (V₁/V₂)^(κ−1). Der Druck steigt deshalb steiler als bei der isothermen Verdichtung.

Die Formel beschreibt näherungsweise den Verdichtungstakt in Kolbenverdichtern und Verbrennungsmotoren, die schnelle Entspannung aus Druckluftbehältern oder die Erwärmung der Luft in Luftfedern und Pumpen. Reale Verdichter liegen zwischen isotherm und adiabat (polytrop mit 1 < n < κ), weil ein Teil der Wärme über die Zylinderwand abfließt. Drücke sind Absolutdrücke; da nur Verhältnisse eingehen, kann in bar gerechnet werden.

Wärmeleitung ist der Wärmetransport im Inneren eines ruhenden Stoffs, von der warmen zur kalten Seite. Für eine ebene Wand mit der Dicke d, der Fläche A und den Oberflächentemperaturen T₁ (warm) und T₂ (kalt) liefert das Fouriersche Gesetz im stationären Zustand den Wärmestrom Q̇ = λ · A · (T₁ − T₂) / d. Die Wärmeleitfähigkeit λ (lambda) ist ein Stoffwert: Dämmstoffe liegen bei 0,02 … 0,05 W/(m·K), Beton bei rund 2, Stahl bei rund 50, Kupfer bei fast 400 W/(m·K). Der Wärmestrom je Quadratmeter (Wärmestromdichte q = Q̇/A) hängt also nur von λ, d und der Temperaturdifferenz ab.

Wichtig: T₁ und T₂ sind die Temperaturen der beiden Wandoberflächen, nicht die Luft- oder Fluidtemperaturen auf beiden Seiten. Sind nur diese bekannt, kommen die Wärmeübergänge hinzu – dann ist der Wärmedurchgangskoeffizient k (eigene Formel) das richtige Werkzeug. Typische Anwendungen sind Dämmplatten an Speichern und Kanälen, Ofen- und Behälterwände, Kühlzellen und die Abschätzung von Wärmebrücken.

Beim Wärmeübergang durch Konvektion wird Wärme zwischen einer festen Oberfläche und einem strömenden Fluid (Luft, Wasser) ausgetauscht. Der Wärmestrom ist proportional zur Fläche A, zur Temperaturdifferenz ΔT zwischen Oberfläche und Fluid und zum Wärmeübergangskoeffizienten α (alpha). α ist kein Stoffwert, sondern hängt von Strömungsart und -geschwindigkeit, Geometrie und Fluid ab: ruhende Luft an einer Wand liefert nur 5 … 10 W/(m²·K), angeblasene Luft 20 … 100, strömendes Wasser 500 … 5 000 W/(m²·K). Man unterscheidet freie Konvektion (Strömung nur durch Auftrieb der erwärmten Luft) und erzwungene Konvektion (Ventilator, Pumpe, Wind).

Die Formel wird zur Abschätzung von Wärmeverlusten warmer Oberflächen (Kessel, Speicher, Rohre, Kanäle), für die Auslegung von Heizflächen und Kühlkörpern und als Baustein des Wärmedurchgangskoeffizienten gebraucht. In Räumen kommt zur Konvektion fast immer die Wärmestrahlung in ähnlicher Größe hinzu; für Innenoberflächen rechnet die Bauphysik mit einem Gesamtwert von rund 8 W/(m²·K).

Jede Oberfläche sendet Wärmestrahlung aus – elektromagnetische Strahlung im Infrarotbereich, die kein Trägermedium braucht. Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist die abgestrahlte Leistung proportional zur Fläche A und zur vierten Potenz der absoluten Temperatur T in Kelvin. Der Emissionsgrad ε (epsilon, 0 … 1) beschreibt, wie stark die Oberfläche im Vergleich zum idealen „schwarzen Körper“ (ε = 1) strahlt: Lacke, Putz, Beton, Glas und oxidierter Stahl liegen bei 0,8 … 0,95, blanke Metalle nur bei 0,04 … 0,3. Die Stefan-Boltzmann-Konstante σ (sigma) beträgt 5,67 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴).

Die Formel liefert die Emission einer Oberfläche. Der Netto-Wärmeverlust an eine Umgebung mit der Temperatur T_U ist kleiner, weil die Fläche zugleich Strahlung aus der Umgebung aufnimmt: Q̇_netto = ε · σ · A · (T⁴ − T_U⁴) für einen kleinen Körper in großer Umgebung. Wegen der vierten Potenz dominiert die Strahlung bei hohen Temperaturen (Öfen, Abgasrohre, Strahlungsheizungen, Glühkörper); bei Raumtemperaturen ist sie etwa so groß wie die freie Konvektion und bestimmt die empfundene Temperatur vor kalten Fenstern oder Wandheizungen.

Fließt Wärme von einem warmen Fluid durch eine Wand in ein kaltes Fluid, sind drei Widerstände hintereinandergeschaltet: der Wärmeübergang innen (1/α_i), die Wärmeleitung durch die Wand (d/λ) und der Wärmeübergang außen (1/α_a). Der Kehrwert der Summe ist der Wärmedurchgangskoeffizient k in W/(m²·K) – in der Bauphysik U-Wert genannt. Je kleiner k, desto besser dämmt die Wand. Die Übergangswiderstände werden dort als R_si = 1/α_i (innen, 0,13 m²·K/W für Wände) und R_se = 1/α_a (außen, 0,04 m²·K/W) bezeichnet, was α_i ≈ 7,7 und α_a = 25 W/(m²·K) entspricht.

Mit dieser Formel lassen sich einschichtige Wände, Dämmplatten, Behälterwände und Wärmeübertragerflächen beurteilen und die nötige Dämmdicke für einen Ziel-k-Wert bestimmen. Bei mehreren Schichten addieren sich die Durchlasswiderstände d_i/λ_i – dafür gibt es im Bereich Bauphysik den U-Wert-Rechner für beliebig viele Schichten. Der zugehörige Wärmestrom folgt aus Q̇ = k · A · ΔT.

Ist der Wärmedurchgangskoeffizient k einer Wand oder einer Wärmeübertragerfläche bekannt, folgt der Wärmestrom einfach aus Q̇ = k · A · ΔT. ΔT ist die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden auf den Seiten der Wand – also z. B. Raumluft minus Außenluft bei einem Bauteil oder die mittlere Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Kühlmedium bei einem Wärmeübertrager.

Die Formel ist die Grundgleichung der Wärmeübertrager-Auslegung (Plattenwärmeübertrager, Rohrbündel, Heizregister, Fernwärmeübergabestationen) und zugleich der Transmissionswärmeverluste von Gebäudehüllen. Bei Wärmeübertragern ändert sich die Temperaturdifferenz entlang der Fläche; dann ist für ΔT die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz ΔT_ln einzusetzen (Rechner im Bereich TGA).

Bei einem Rohr fließt die Wärme radial nach außen durch eine zylindrische Schicht, deren Fläche mit dem Radius wächst. Deshalb steht in der Formel nicht die Dicke, sondern der Logarithmus des Radienverhältnisses r₂/r₁: Q̇ = 2π · λ · L · (T₁ − T₂) / ln(r₂/r₁). T₁ ist die Temperatur an der Innenseite der Schicht (bei einer Dämmung: Rohroberfläche), T₂ die Temperatur an ihrer Außenseite. Weil nur das Verhältnis r₂/r₁ eingeht, können die Radien in Millimetern eingegeben werden.

Die Formel bestimmt die Wärmeverluste gedämmter Heizungs-, Warmwasser- und Dampfleitungen sowie die Kälteverluste von Kaltwasserleitungen. Die Umstellung nach r₂ liefert die Dämmdicke (r₂ − r₁), die für einen zulässigen Verlust nötig ist. In der Praxis ist die äußere Oberflächentemperatur T₂ oft nicht bekannt, sondern die Umgebungstemperatur; dann kommt der äußere Wärmeübergang 1/(α_a · 2π · r₂ · L) als weiterer Widerstand hinzu – bei dicken Dämmungen ist er klein, bei blanken Rohren bestimmt er den Verlust. Das Gebäudeenergiegesetz schreibt für Heizungs- und Warmwasserleitungen Mindestdämmdicken vor (bei λ = 0,035 W/(m·K) je nach Rohrdurchmesser 20 mm bis 100 mm bzw. gleich dem Rohrinnendurchmesser).

Der Carnot-Wirkungsgrad ist die physikalische Obergrenze für jede Maschine, die aus Wärme Arbeit gewinnt – Dampfturbine, Verbrennungsmotor, Gasturbine, ORC-Anlage. Er hängt nur von der absoluten Temperatur T_w, bei der die Wärme zugeführt wird, und der absoluten Temperatur T_k ab, bei der die Abwärme abgegeben wird: η_C = 1 − T_k/T_w. Je größer der Temperaturunterschied, desto mehr der zugeführten Wärme lässt sich bestenfalls in Arbeit umwandeln; der Rest muss als Abwärme abfließen. Das ist eine Folge des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, keine technische Unzulänglichkeit.

Reale Anlagen bleiben deutlich darunter: Moderne Dampfkraftwerke erreichen etwa 40 … 45 %, Gas- und Dampfturbinenkraftwerke bis rund 60 %, Blockheizkraftwerke elektrisch 30 … 40 % – jeweils gemessen an einem Carnot-Wert von 60 … 70 %. Die Formel zeigt, warum hohe Prozesstemperaturen und tiefe Kühltemperaturen (Flusswasser, Kühlturm) so wichtig sind und warum Niedertemperatur-Abwärme nur schlecht verstromt werden kann. Der Wirkungsgrad wird hier als Zahl zwischen 0 und 1 ausgegeben (0,61 = 61 %).