Thermodynamik & Wärmeübertragung
Isotherme Zustandsänderung (Boyle-Mariotte)
Wie ändert sich der Druck eines Gases, wenn es bei gleichbleibender Temperatur verdichtet oder entspannt wird?
Bleibt die Temperatur eines idealen Gases konstant (isotherm), ist das Produkt aus Druck und Volumen unveränderlich: p₁ · V₁ = p₂ · V₂ (Gesetz von Boyle-Mariotte). Halbiert sich das Volumen, verdoppelt sich der Druck. Isotherm verläuft eine Zustandsänderung, wenn sie so langsam abläuft, dass die Kompressionswärme vollständig an die Umgebung abfließen kann – oder wenn das Gas aktiv gekühlt wird.
Typische Anwendungen: das Gaspolster im Membran-Ausdehnungsgefäß (langsame Druckänderungen mit dem Anlagendruck), Druckluftspeicher, die langsam gefüllt oder entleert werden, oder die Abschätzung, wie viel entspannte Luft in einer Druckluftflasche steckt. Da nur Verhältnisse eingehen, können p und V in beliebigen, aber gleichen Einheiten eingesetzt werden – p jedoch immer als Absolutdruck.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Absolutdruck Zustand 1Anfangsdruck, absolut (Überdruck + ca. 1,013 bar) | bar | |
| Volumen Zustand 1Anfangsvolumen des Gases (1 000 l = 1 m³) | m³ | |
| Absolutdruck Zustand 2Enddruck, absolut | bar | |
| Volumen Zustand 2Endvolumen des Gases | m³ |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
GrafikIsotherme: Druck über dem Volumen (Hyperbel)
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Das Gaspolster eines Membran-Ausdehnungsgefäßes hat bei 1,5 bar Vordruck (Überdruck) ein Volumen von 50 l. Beim Aufheizen der Anlage drückt das Ausdehnungswasser das Gaspolster auf 35 l zusammen. Welcher Druck herrscht dann im Gefäß?
- Gegeben: p₁ = 1,5 bar Überdruck + 1,0 bar ≈ 2,5 bar absolut; V₁ = 50 l = 0,05 m³; V₂ = 35 l = 0,035 m³. Gesucht: p₂.
- Umstellen: p₂ = p₁ · V₁ / V₂.
- Einsetzen: p₂ = 2,5 bar · 0,05 m³ / 0,035 m³ ≈ 3,57 bar (absolut).
- Umrechnen in Überdruck (Manometeranzeige): 3,57 bar − 1,0 bar ≈ 2,57 bar.
- Praxis: Der Enddruck muss unter dem Ansprechdruck des Sicherheitsventils (z. B. 3 bar) bleiben – hier ist das Gefäß also an der Grenze.
Ergebnis: ≈ 3,57 bar absolut (≈ 2,57 bar Überdruck)
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt für ideale Gase bei konstanter Temperatur – also bei langsamen Vorgängen mit Wärmeaustausch. Schnelle Verdichtung ohne Wärmeabfuhr ist adiabat (eigene Formel).
- Drücke immer als Absolutdruck einsetzen; die Einheit (bar, Pa) ist beliebig, solange beide Drücke dieselbe haben – ebenso die Volumina.
- Beim Membran-Ausdehnungsgefäß nimmt die Gastemperatur in Wirklichkeit leicht zu; die isotherme Rechnung ist dafür die übliche Näherung.
Typische Fehler
- Überdruck statt Absolutdruck einsetzen – bei kleinen Drücken ein großer Fehler.
- Die Formel auf einen Vorgang anwenden, bei dem sich die Temperatur deutlich ändert (Kompressor, schnelles Entspannen).