Adiabate Zustandsänderung (Verdichtung ohne Wärmeaustausch)

Welcher Druck entsteht, wenn ein Gas schnell – ohne Wärmeabgabe – verdichtet oder entspannt wird?

p_{1} \cdot V_{1}^{κ} = p_{2} \cdot V_{2}^{κ}

p_{2} = p_{1} \cdot (\frac{V _{1}}{V _{2}})^{κ}

V_{2} = V_{1} \cdot (\frac{p _{1}}{p _{2}})^{1/ κ}

p_{1} = p_{2} \cdot (\frac{V _{2}}{V _{1}})^{κ}

V_{1} = V_{2} \cdot (\frac{p _{2}}{p _{1}})^{1/ κ}

κ = \frac{ln ( p _{2} / p _{1} )}{ln ( V _{1} / V _{2} )}

Umstellen nach

Verläuft eine Verdichtung oder Entspannung so schnell, dass praktisch keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird, heißt die Zustandsänderung adiabat (reibungsfrei: isentrop). Dann gilt p₁ · V₁^κ = p₂ · V₂^κ mit dem Isentropenexponenten κ (kappa) = c_p/c_v, für Luft und andere zweiatomige Gase etwa 1,4. Weil die Kompressionsarbeit im Gas bleibt, steigt bei der Verdichtung neben dem Druck auch die Temperatur: T₂ = T₁ · (V₁/V₂)^(κ−1). Der Druck steigt deshalb steiler als bei der isothermen Verdichtung.

Die Formel beschreibt näherungsweise den Verdichtungstakt in Kolbenverdichtern und Verbrennungsmotoren, die schnelle Entspannung aus Druckluftbehältern oder die Erwärmung der Luft in Luftfedern und Pumpen. Reale Verdichter liegen zwischen isotherm und adiabat (polytrop mit 1 < n < κ), weil ein Teil der Wärme über die Zylinderwand abfließt. Drücke sind Absolutdrücke; da nur Verhältnisse eingehen, kann in bar gerechnet werden.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$p_{1}$	Absolutdruck Zustand 1Anfangsdruck, absolut	bar
$V_{1}$	Volumen Zustand 1Anfangsvolumen des Gases (1 l = 0,001 m³)	m³
$p_{2}$	Absolutdruck Zustand 2Enddruck, absolut	bar
$V_{2}$	Volumen Zustand 2Endvolumen des Gases	m³
$κ$	IsentropenexponentVerhältnis c_p/c_v des Gases (siehe Tabelle Gaskonstanten)	–

Ergebnis

Rechenweg

Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.

GrafikAdiabate: Druck über dem Volumen (steiler als die Isotherme)

Beispiel: ≈ 9,52 bar absolut

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Ein Kolbenverdichter saugt 2,0 l Luft bei 1,0 bar (absolut) und 20 °C an und verdichtet sie schnell auf 0,4 l. Welcher Druck entsteht, wenn keine Wärme abgeführt wird?

Gegeben: p₁ = 1,0 bar (absolut); V₁ = 2,0 l = 0,002 m³; V₂ = 0,4 l = 0,0004 m³; κ = 1,4 (Luft). Gesucht: p₂.
Umstellen: p₂ = p₁ · (V₁/V₂)^κ.
Einsetzen: p₂ = 1,0 bar · (0,002 / 0,0004)^1,4 = 1,0 bar · 5^1,4 ≈ 9,52 bar (absolut).
Vergleich: Isotherm (mit vollständiger Kühlung) wären es nur 5,0 bar. Die Temperatur steigt adiabat auf T₂ = 293,15 K · 5^0,4 ≈ 558 K ≈ 285 °C – deshalb werden Verdichter gekühlt.

Ergebnis: ≈ 9,52 bar absolut

Gültigkeit & Hinweise

Gilt für ideale Gase ohne Wärmeaustausch und ohne Reibung (isentrop). Reale Verdichter sind polytrop: p · Vⁿ = konst. mit 1 < n < κ; die Formel gilt dann mit n statt κ.
Temperatur nach der Verdichtung: T₂ = T₁ · (V₁/V₂)^(κ−1) = T₁ · (p₂/p₁)^((κ−1)/κ), Temperaturen in Kelvin.
κ sinkt mit steigender Temperatur leicht (Luft: 1,40 bei 20 °C, etwa 1,36 bei 500 °C).
Drücke als Absolutdruck; die Einheiten von p und V sind beliebig, solange sie innerhalb der Formel gleich sind.

Typische Fehler

Isotherme Formel für schnelle Vorgänge verwenden – der Druck wird dann deutlich unterschätzt.
Überdruck statt Absolutdruck einsetzen; bei 1 bar Ansaugdruck wäre der Überdruck 0 und die Rechnung sinnlos.

Verwandte Formeln:

Quelle: Grundlagen der Thermodynamik (z. B. Cerbe/Wilhelms, Baehr/Kabelac)