Ideales Gasgesetz (thermische Zustandsgleichung)

Wie hängen Druck, Volumen, Masse und Temperatur eines Gases zusammen – etwa im Druckluftbehälter?

p \cdot V = m \cdot R_{s} \cdot T

p = \frac{m \cdot R _{s} \cdot T}{V}

V = \frac{m \cdot R _{s} \cdot T}{p}

m = \frac{p \cdot V}{R _{s} \cdot T}

R_{s} = \frac{p \cdot V}{m \cdot T}

T = \frac{p \cdot V}{m \cdot R _{s}}

Umstellen nach

Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase verknüpft Druck p, Volumen V, Masse m und absolute Temperatur T über die spezifische Gaskonstante R_s. Sie ist der Stoffwert des jeweiligen Gases und ergibt sich aus der universellen Gaskonstante R = 8,314 J/(mol·K) geteilt durch die molare Masse: für Luft 287 J/(kg·K), für Wasserdampf 462 J/(kg·K). Entscheidend sind die Einheiten: p als Absolutdruck in Pascal (Überdruck + Umgebungsdruck ≈ 1,013 bar), V in m³, T in Kelvin.

Luft, Stickstoff, Sauerstoff, Wasserstoff und Erdgas verhalten sich bis etwa 20 bar und fern der Kondensation nahezu ideal (Abweichung meist unter 1 bis 2 %). Mit der Gleichung lassen sich die Luftmasse in einem Druckluftbehälter, der Inhalt einer Gasflasche, die Dichte von Luft bei beliebiger Temperatur (ρ = m/V = p / (R_s · T)) oder die Volumenänderung beim Erwärmen bestimmen. Wasserdampf nahe der Sättigung und CO₂ bei hohem Druck weichen deutlicher ab – dafür sind Dampftafeln bzw. Realgasgleichungen nötig.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$p$	Absolutdruckabsoluter Druck (Überdruck + Umgebungsdruck); 1 bar = 100 000 Pa	Pa
$V$	VolumenGasvolumen (Behälterinhalt); 1 000 l = 1 m³	m³
$m$	GasmasseMasse des eingeschlossenen Gases	kg
$R_{s}$	spezifische GaskonstanteStoffwert des Gases (siehe Tabelle)	J/(kg·K)
$T$	absolute TemperaturGastemperatur in Kelvin: T = ϑ + 273,15	K

Ergebnis

Rechenweg

Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.

GrafikDruck über der absoluten Temperatur (m, V konstant)

Beispiel: ≈ 5,35 kg

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Ein Druckluftbehälter mit 500 l Inhalt steht unter 8 bar Überdruck bei 20 °C. Welche Luftmasse enthält er?

Gegeben: Überdruck 8 bar → Absolutdruck p ≈ 8 bar + 1 bar = 9 bar = 900 000 Pa; V = 500 l = 0,5 m³; R_s = 287 J/(kg·K) (Luft); T = 20 °C + 273,15 = 293,15 K. Gesucht: m.
Umstellen: m = p · V / (R_s · T).
Einsetzen: m = 900 000 Pa · 0,5 m³ / (287 J/(kg·K) · 293,15 K) = 450 000 / 84 134 kg ≈ 5,35 kg.
Kontrolle: Drucklos (1 bar) wären nur rund 0,59 kg im Behälter – der Behälter speichert also etwa 4,8 kg bzw. rund 4 m³ Luft im entspannten Zustand.

Ergebnis: ≈ 5,35 kg

Gültigkeit & Hinweise

Gilt für ideale Gase; Luft, N₂, O₂, H₂ und Erdgas bis etwa 20 bar und fern der Kondensation mit Abweichungen unter 1 … 2 %. Wasserdampf nahe der Sättigung und CO₂ bei hohem Druck weichen stärker ab.
p ist der Absolutdruck: Manometer zeigen Überdruck; Umgebungsdruck ≈ 1,013 bar (auf Meereshöhe) addieren.
T immer in Kelvin; mit °C ist das Ergebnis grob falsch.
Dichte eines Gases: ρ = p / (R_s · T); Luft bei 20 °C und 1,013 bar: 101 325 / (287 · 293,15) ≈ 1,20 kg/m³.
Mit der Stoffmenge n in mol lautet die Gleichung p · V = n · R · T mit R = 8,314 J/(mol·K).

Typische Fehler

Überdruck statt Absolutdruck einsetzen (bei 8 bar Überdruck ein Fehler von rund 11 %).
Volumen in Litern statt m³ oder Druck in bar statt Pa – das Ergebnis ist dann um Zehnerpotenzen falsch.
Die universelle Gaskonstante R (8,314 J/(mol·K)) mit der spezifischen R_s verwechseln.

Verwandte Formeln:

Quelle: Grundlagen der Thermodynamik (z. B. Cerbe/Wilhelms, Baehr/Kabelac), VDI-Wärmeatlas