Elektrotechnik

Das Ohmsche Gesetz ist die Grundgleichung der Elektrotechnik: An einem Widerstand R fällt eine Spannung U ab, die proportional zum hindurchfließenden Strom I ist. Der Widerstand ist die Proportionalitätskonstante – er beschreibt, wie stark ein Bauteil oder eine Leitung den Stromfluss hemmt. Die Einheit Ohm (Ω) ist so festgelegt, dass 1 V an 1 Ω genau 1 A fließen lässt.

Die Formel gilt streng für lineare (ohmsche) Widerstände wie Heizwendeln, Leitungen und Drahtwiderstände bei konstanter Temperatur. In der Praxis liefert sie den Strom eines Heizstabs, den Widerstand einer Wicklung aus Spannung und Strom oder den Spannungsabfall an einem Leitungsstück. Bei Wechselstrom gilt sie in dieser Form nur für rein ohmsche Verbraucher; Spulen und Kondensatoren haben zusätzlich Blindwiderstände.

Die elektrische Leistung P ist die je Sekunde umgesetzte Energie. Bei Gleichstrom und bei rein ohmschen Wechselstromverbrauchern (Heizstab, Heizlüfter, Glühlampe) ist sie das Produkt aus Spannung und Strom: 1 V · 1 A = 1 W. Umgekehrt folgt aus der Leistung eines Geräts und der Netzspannung der Betriebsstrom – die wichtigste Größe für Leitungsquerschnitt und Absicherung.

In der Installationspraxis wird mit dieser Formel geprüft, ob ein Stromkreis die angeschlossenen Geräte tragen kann: 230 V · 16 A = 3 680 W ist die maximale Dauerleistung eines mit B16 abgesicherten Stromkreises. Für Motoren, Netzteile und andere nicht rein ohmsche Wechselstromverbraucher ist U · I die Scheinleistung S in VA; die Wirkleistung ist um den Leistungsfaktor cos φ kleiner.

Setzt man das Ohmsche Gesetz U = R · I in P = U · I ein, ergibt sich die Leistung, die ein Widerstand allein aus Strom und Widerstandswert umsetzt: P = I² · R. Sie wird vollständig in Wärme umgewandelt – gewollt im Heizstab, ungewollt in Leitungen, Klemmen und Wicklungen (Stromwärmeverluste).

Die quadratische Abhängigkeit vom Strom ist der Grund, warum der doppelte Strom die Leitungsverluste vervierfacht und warum Übergangswiderstände an lockeren Klemmen heiß werden. Die Formel ist das Werkzeug zur Abschätzung von Leitungsverlusten (mit R aus dem Leiterwiderstand) sowie der Verlustleistung in Messwiderständen (Shunts), Vorwiderständen und Sicherungen.

Mit I = U / R aus dem Ohmschen Gesetz wird P = U · I zu P = U² / R. Die Leistung eines ohmschen Verbrauchers an fester Spannung hängt damit nur von seinem Widerstand ab: je kleiner R, desto größer die Leistung. Das ist die Auslegungsformel für Heizwiderstände, Heizstäbe und Heizmatten.

Umgekehrt liefert R = U² / P den Betriebswiderstand jedes ohmschen Geräts aus den Typenschildangaben – und zeigt, warum ein 230-V-Heizstab an 400 V die rund dreifache Leistung (400² / 230² ≈ 3) umsetzen würde und ein 400-V-Gerät an 230 V nur ein Drittel. Spannungsschwankungen wirken sich quadratisch auf die Leistung aus.

Der Widerstand eines Leiters wächst mit seiner Länge l und sinkt mit seinem Querschnitt A. Der Werkstoff geht über die elektrische Leitfähigkeit κ (Kappa) ein – für Kupfer 56, für Aluminium 35 m/(Ω·mm²). Mit l in Metern und A in Quadratmillimetern ergibt sich R direkt in Ohm. Der Kehrwert der Leitfähigkeit ist der spezifische Widerstand ρ (Kupfer 0,0178 Ω·mm²/m).

Die Formel liefert den Widerstand einer einzelnen Ader. Für den Stromkreis aus Hin- und Rückleiter wird die doppelte Länge angesetzt. In der Praxis dient sie zur Abschätzung von Spannungsfall und Leitungsverlusten, zur Berechnung von Schleifenwiderständen im Kurzschlussfall und zur Auslegung von Mess- und Steuerleitungen.

In einer Reihenschaltung fließt durch alle Widerstände derselbe Strom; die Teilspannungen addieren sich zur Gesamtspannung. Daraus folgt, dass sich auch die Widerstände addieren: Der Gesamtwiderstand ist stets größer als der größte Einzelwiderstand. Die Teilspannung an jedem Widerstand ist proportional zu seinem Widerstandswert (Uₙ = I · Rₙ).

Reihenschaltungen treten in der Praxis als Vorwiderstände, als Leitungswiderstand in Reihe zum Verbraucher, in Messkreisen und bei in Reihe geschalteten Modulen oder Zellen auf. Der Rechner nimmt bis zu drei Widerstände auf; nicht genutzte Widerstände werden mit 0 eingetragen. Für mehr als drei Widerstände werden einfach alle Werte addiert.

In einer Parallelschaltung liegt an allen Widerständen dieselbe Spannung; die Ströme der Zweige addieren sich. Damit addieren sich die Leitwerte (1 / R), und der Gesamtwiderstand ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Für genau zwei Widerstände lässt sich die Leitwertsumme zur handlichen Formel „Produkt durch Summe“ zusammenfassen.

Jeder Stromkreis mit mehreren Verbrauchern ist eine Parallelschaltung: Heizstäbe, Steckdosenverbraucher und Leuchten hängen parallel am Netz, und ihre Ströme summieren sich am Leitungsschutzschalter. Für drei und mehr Widerstände wird 1 / R_ges = 1 / R₁ + 1 / R₂ + 1 / R₃ + … verwendet oder die Formel schrittweise angewendet (zwei Widerstände zusammenfassen, dann mit dem nächsten weiterrechnen).

Zwei in Reihe geschaltete Widerstände teilen die angelegte Spannung U im Verhältnis ihrer Widerstandswerte auf: An R₂ liegt der Anteil R₂ / (R₁ + R₂). Die Formel folgt direkt aus dem Ohmschen Gesetz, weil durch beide Widerstände derselbe Strom I = U / (R₁ + R₂) fließt.

Spannungsteiler sind die Standardschaltung zur Anpassung von Mess- und Steuersignalen (z. B. 24 V auf einen 0 … 10-V-Analogeingang), für Referenzspannungen und in Sensorschaltungen mit Widerstandsgebern (Pt1000, NTC). „Unbelastet“ bedeutet, dass am Abgriff kein nennenswerter Strom entnommen wird; eine Last parallel zu R₂ verkleinert die Teilspannung.

Jede Leitung hat einen Widerstand, an dem bei Stromfluss Spannung abfällt – am Verbraucher kommt weniger an, als am Zähler anliegt. Bei Gleichstrom und bei einphasigem Wechselstrom fließt der Strom über Hin- und Rückleiter, daher steht die doppelte Leitungslänge in der Formel. Mit l in m, A in mm² und κ in m/(Ω·mm²) ergibt sich ΔU direkt in Volt; bezogen auf die Nennspannung 230 V wird daraus der prozentuale Spannungsfall. Die Formel gilt für ohmsche Last (cos φ = 1); bei induktiven Verbrauchern wird näherungsweise mit cos φ multipliziert.

Der Spannungsfall ist neben der Strombelastbarkeit das zweite Kriterium für den Leitungsquerschnitt – lange Zuleitungen zu Wallbox, Gartenhaus, Wärmepumpe oder Pumpenschacht werden häufig nach dem Spannungsfall und nicht nach der Belastbarkeit bemessen. DIN 18015-1 empfiehlt für Wohngebäude höchstens 3 % Spannungsfall zwischen Zähler und Verbrauchsmittel (zwischen Hausanschlusskasten und Zähler zusätzlich höchstens 0,5 %); DIN VDE 0100-520 nennt als Empfehlung 3 % für Beleuchtung und 5 % für übrige Verbrauchsmittel.

Bei symmetrisch belastetem Drehstrom fließt im Neutralleiter kein Strom; der Rückstrom jedes Außenleiters schließt sich über die beiden anderen. Dadurch tritt in der Formel statt des Faktors 2 der Verkettungsfaktor √3 auf, und der Spannungsfall bezieht sich auf die Außenleiterspannung 400 V. Der Leistungsfaktor cos φ berücksichtigt, dass bei induktiver Last nur der Wirkanteil des Stroms am ohmschen Leitungswiderstand den Spannungsfall bestimmt (induktiver Anteil der Leitung vernachlässigt).

Typische Anwendungen sind Zuleitungen zu 11-kW- und 22-kW-Wallboxen, Wärmepumpen, Drehstrommotoren und Unterverteilungen. Bei gleicher Leistung ist der Spannungsfall bei Drehstrom deutlich kleiner als einphasig, weil der Strom je Außenleiter geringer ist und √3 statt 2 wirkt. Die Empfehlungen zum zulässigen Spannungsfall (DIN 18015-1: 3 %; DIN VDE 0100-520: 3 % Beleuchtung, 5 % sonstige Verbrauchsmittel) gelten hier bezogen auf 400 V.

Die Kapazität C ist das Maß dafür, wie viel Ladung Q ein Kondensator je Volt Spannung aufnimmt: Q = C · U. Die Einheit Farad (1 F = 1 As/V) ist sehr groß; in der Technik sind Mikrofarad (µF = 10⁻⁶ F), Nanofarad und Picofarad üblich. Der Rechner erwartet C in µF und liefert Q in µC (Mikrocoulomb); 1 000 000 µC = 1 C = 1 As.

Die Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen Spannung und gespeicherter Ladung bei Zwischenkreiskondensatoren von Frequenzumrichtern, Glättungs- und Stützkondensatoren, Motorbetriebskondensatoren und Kompensationsanlagen. Sie ist die Grundlage für die Berechnung der gespeicherten Energie und der Lade- und Entladeströme.

Beim Aufladen eines Kondensators steigt die Spannung linear mit der Ladung; die gespeicherte Energie ist die Fläche unter dieser Geraden und damit W = ½ · C · U². Die Energie wächst quadratisch mit der Spannung – doppelte Spannung bedeutet vierfache Energie. Mit C in µF ergibt sich W in Joule (Wattsekunden), wenn der Faktor 10⁻⁶ berücksichtigt wird; der Rechner erledigt das.

Praktisch relevant ist die Formel für die Gefährdungsbeurteilung an Zwischenkreisen von Frequenzumrichtern und Netzteilen (gespeicherte Energie nach dem Abschalten), für Kondensatorbänke und Blitzgeräte sowie für die Auslegung von Entladewiderständen.

Ein Kondensator lässt Wechselstrom fließen, ohne ihn in Wärme umzusetzen: Er wird ständig umgeladen. Das Verhältnis von Spannung zu Strom heißt kapazitiver Blindwiderstand X_C. Er ist umgekehrt proportional zu Frequenz und Kapazität – bei Gleichstrom (f = 0) ist er unendlich, bei hohen Frequenzen wird der Kondensator durchlässig. Der Strom eilt der Spannung um 90° voraus.

Mit C in µF und f in Hz liefert der Rechner X_C in Ω. Anwendungen sind Betriebskondensatoren einphasiger Motoren, Kompensationskondensatoren, Entstör- und Filterkondensatoren sowie der kapazitive Ableitstrom langer geschirmter Motorleitungen an Frequenzumrichtern.

Eine Spule (Induktivität L) widersetzt sich jeder Stromänderung durch Selbstinduktion. Bei Wechselstrom wirkt das wie ein Widerstand, der mit Frequenz und Induktivität wächst: der induktive Blindwiderstand X_L = 2 · π · f · L. Bei Gleichstrom ist er null (nur der Drahtwiderstand bleibt), bei hohen Frequenzen sperrt die Spule. Der Strom eilt der Spannung um 90° nach.

Der Rechner erwartet L in Millihenry (mH) und f in Hz und liefert X_L in Ω. Induktive Blindwiderstände bestimmen das Verhalten von Motorwicklungen, Transformatoren, Drosseln (Netz- und Motordrosseln an Umrichtern), Schützspulen und Filterkreisen.

Wirkwiderstand R und Blindwiderstände X lassen sich nicht einfach addieren, weil die Spannungen an ihnen um 90° gegeneinander verschoben sind. Der induktive Blindwiderstand X_L und der kapazitive X_C wirken entgegengesetzt und heben sich teilweise auf; der verbleibende Blindanteil X = X_L − X_C steht senkrecht auf R. Der Scheinwiderstand Z (Impedanz) ist die Hypotenuse dieses Widerstandsdreiecks, der Phasenwinkel φ = arctan(X / R).

Mit Z folgt der Strom einer Wechselstromschaltung aus I = U / Z. Ist X_L > X_C, verhält sich die Schaltung induktiv (Strom eilt nach), bei X_C > X_L kapazitiv; bei X_L = X_C liegt Resonanz vor und Z = R wird minimal. Die Formel ist die Grundlage für Filterkreise, Motor-Ersatzschaltbilder und Netzimpedanzen.

In einem Schwingkreis aus Spule und Kondensator gibt es genau eine Frequenz, bei der induktiver und kapazitiver Blindwiderstand gleich groß sind: die Resonanzfrequenz f₀. Aus 2 · π · f · L = 1 / (2 · π · f · C) folgt die Thomsonsche Schwingungsgleichung. Im Reihenschwingkreis ist bei f₀ der Scheinwiderstand minimal (Z = R), im Parallelschwingkreis maximal.

Der Rechner erwartet L in mH und C in µF und liefert f₀ in Hz. In der Anlagentechnik ist die Resonanzfrequenz wichtig für Saugkreise (Oberschwingungsfilter), verdrosselte Kompensationsanlagen (Verstimmungsgrad), Resonanzen zwischen Kompensationskondensatoren und Netzinduktivität sowie für Filter an Frequenzumrichtern.

Bei Wechselstrom sind Spannung und Strom nur bei rein ohmschen Verbrauchern in Phase. Motoren, Transformatoren, Drosseln und viele Netzteile verschieben den Strom gegenüber der Spannung um den Phasenwinkel φ. Nur der Anteil I · cos φ des Stroms überträgt Wirkleistung; der Rest ist Blindstrom, der zwischen Netz und Verbraucher pendelt. Die Wirkleistung P = U · I · cos φ ist die Leistung, die der Stromzähler erfasst und die in Arbeit oder Wärme umgesetzt wird.

Der Leistungsfaktor cos φ steht auf dem Typenschild von Motoren und Geräten (0 … 1); Heizgeräte haben cos φ = 1. Die Umstellung nach I liefert den Betriebsstrom eines einphasigen Verbrauchers aus Leistung und Leistungsfaktor – wichtig für Absicherung und Leitungsbemessung.

Bei Wechselstromverbrauchern mit Phasenverschiebung setzt sich die Scheinleistung S = U · I (in VA) aus zwei senkrecht zueinander stehenden Anteilen zusammen: der Wirkleistung P (in W), die tatsächlich in Arbeit oder Wärme umgesetzt wird, und der Blindleistung Q (in var), die zwischen Netz und Verbraucher hin- und herpendelt. Die drei Größen bilden das Leistungsdreieck mit S als Hypotenuse; der Winkel zwischen S und P ist der Phasenwinkel φ, und es gilt P = S · cos φ sowie Q = S · sin φ.

Der Rechner arbeitet in kW, kvar und kVA. Das Leistungsdreieck ist die Grundlage für die Dimensionierung von Transformatoren und Generatoren (nach S), für die Bemessung von Kompensationsanlagen (nach Q) und für das Verständnis von Blindarbeitskosten beim Netzbetreiber.

Im Drehstromnetz (400 V zwischen den Außenleitern, 230 V zwischen Außenleiter und Neutralleiter) ergibt sich die Gesamtwirkleistung einer symmetrischen Last als Summe der drei Strangleistungen. Mit der Außenleiterspannung U und dem Außenleiterstrom I lautet sie unabhängig von Stern- oder Dreieckschaltung P = √3 · U · I · cos φ. Der Faktor √3 ≈ 1,732 ist der Verkettungsfaktor zwischen Strang- und Außenleitergrößen.

Der Rechner erwartet U in V und I in A und gibt P in kW aus. Die Formel liefert die Anschlussleistung von Wallboxen, Durchlauferhitzern, Wärmepumpen und Motoren sowie – umgestellt nach I – den Außenleiterstrom für Absicherung und Leitungsbemessung. Bei Heizgeräten ist cos φ = 1, bei Motoren steht er auf dem Typenschild.

Auf dem Typenschild eines Motors steht die mechanische Abgabeleistung P_ab an der Welle, nicht die elektrische Aufnahme. Die aufgenommene Wirkleistung ist um den Wirkungsgrad η größer (P_zu = P_ab / η), und aus ihr folgt mit der Drehstromformel der Außenleiterstrom: I = P_ab / (√3 · U · cos φ · η). Der Rechner erwartet P_ab in kW.

Dieser Bemessungsstrom ist die Grundlage für Motorschutzschalter, Schütze, Leitungsquerschnitt und Absicherung von Pumpen, Lüftern, Verdichtern und Förderantrieben. Bei Teillast sinken cos φ und η, sodass der Strom weniger stark abnimmt als die Leistung; beim Direktanlauf fließt kurzzeitig das 5- bis 8-Fache des Bemessungsstroms.

Induktive Verbraucher (Motoren, Transformatoren, Drosseln) beziehen Blindleistung aus dem Netz, die Leitungen, Transformatoren und Zähler belastet, ohne Arbeit zu leisten. Netzbetreiber stellen Blindarbeit in Rechnung, wenn der mittlere Leistungsfaktor unter etwa 0,9 liegt. Parallel geschaltete Kondensatoren liefern die Blindleistung vor Ort und entlasten das Netz. Die nötige Kondensatorleistung Q_C ist die Differenz der Blindleistungen vor und nach der Kompensation: Q_C = P · (tan φ₁ − tan φ₂), mit tan φ = Q / P aus dem Leistungsdreieck.

Der Rechner erwartet die Wirkleistung P in kW und die beiden Leistungsfaktoren als Dezimalzahlen; er bildet die Tangenswerte intern über φ = arccos(cos φ) und liefert Q_C in kvar. Der Zielwert cos φ₂ liegt meist bei 0,9 bis 0,95 (nicht 1,0, um Überkompensation und Resonanzen zu vermeiden). Die Umstellung nach cos φ₂ zeigt, welcher Leistungsfaktor mit einer vorhandenen Kondensatorbank erreicht wird.

Ein Transformator überträgt Wechselspannung über ein gemeinsames Magnetfeld von der Primär- auf die Sekundärwicklung. Beim idealen (verlustfreien) Transformator verhalten sich die Spannungen wie die Windungszahlen: U₁ / U₂ = N₁ / N₂. Das Übersetzungsverhältnis ü = N₁ / N₂ bestimmt, ob die Spannung herauf- oder herabgesetzt wird. Da die Leistung erhalten bleibt (U₁ · I₁ = U₂ · I₂), verhalten sich die Ströme umgekehrt: I₁ / I₂ = N₂ / N₁ – die Wicklung mit der kleineren Spannung führt den größeren Strom und braucht den dickeren Draht.

Steuertransformatoren (400 V oder 230 V → 24 V), Klingel- und Sicherheitstransformatoren, Stromwandler und Verteiltransformatoren (20 kV → 400 V) folgen dieser Grundbeziehung. Unter Last weicht die Sekundärspannung durch Wicklungswiderstände und Streuinduktivitäten etwas vom Leerlaufwert ab (Kurzschlussspannung u_k, typisch 2 … 6 %).

Die elektrische Arbeit W ist die über die Zeit aufsummierte Leistung – das, was der Stromzähler misst. Läuft ein Verbraucher mit konstanter Leistung P über die Zeit t, ist W = P · t. Die technische Einheit ist die Kilowattstunde: 1 kWh = 1 kW · 1 h = 3 600 kJ = 3,6 MJ.

Die Formel ist die Basis jeder Verbrauchs- und Kostenrechnung: Jahresverbrauch einer Wärmepumpe aus mittlerer Leistung und Laufzeit, geladene Energie eines Elektroautos, Standby-Verluste über das Jahr. Bei schwankender Leistung wird mit dem Mittelwert der Leistung über die Laufzeit gerechnet oder in Zeitabschnitte unterteilt.