Scheinwiderstand der Reihenschaltung R, L, C
Welchen Gesamtwiderstand hat eine Reihenschaltung aus Wirk- und Blindwiderständen?
Wirkwiderstand R und Blindwiderstände X lassen sich nicht einfach addieren, weil die Spannungen an ihnen um 90° gegeneinander verschoben sind. Der induktive Blindwiderstand X_L und der kapazitive X_C wirken entgegengesetzt und heben sich teilweise auf; der verbleibende Blindanteil X = X_L − X_C steht senkrecht auf R. Der Scheinwiderstand Z (Impedanz) ist die Hypotenuse dieses Widerstandsdreiecks, der Phasenwinkel φ = arctan(X / R).
Mit Z folgt der Strom einer Wechselstromschaltung aus I = U / Z. Ist X_L > X_C, verhält sich die Schaltung induktiv (Strom eilt nach), bei X_C > X_L kapazitiv; bei X_L = X_C liegt Resonanz vor und Z = R wird minimal. Die Formel ist die Grundlage für Filterkreise, Motor-Ersatzschaltbilder und Netzimpedanzen.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| ScheinwiderstandImpedanz der Reihenschaltung | Ω | |
| Wirkwiderstandohmscher Widerstand | Ω | |
| induktiver BlindwiderstandBlindwiderstand der Spule bei der Betriebsfrequenz (0, wenn keine Spule) | Ω | |
| kapazitiver BlindwiderstandBlindwiderstand des Kondensators bei der Betriebsfrequenz (0, wenn kein Kondensator) | Ω |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Ein Filterkreis besteht aus R = 30 Ω, einer Drossel mit X_L = 50 Ω und einem Kondensator mit X_C = 10 Ω in Reihe an 230 V, 50 Hz. Wie groß sind Scheinwiderstand, Strom und Phasenwinkel?
- Gegeben: R = 30 Ω, X_L = 50 Ω, X_C = 10 Ω. Gesucht: Z.
- Formel: Z = √(R² + (X_L − X_C)²).
- Einsetzen: Z = √(30² + (50 − 10)²) Ω = √(900 + 1 600) Ω = √2 500 Ω = 50 Ω.
- Strom: I = U / Z = 230 V / 50 Ω = 4,6 A. Phasenwinkel: φ = arctan((50 − 10) / 30) = arctan(1,33) = 53,1° (induktiv, Strom eilt nach); cos φ = R / Z = 0,6.
Ergebnis: 50 Ω (I = 4,6 A, φ = 53,1°)
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt für die Reihenschaltung bei sinusförmigem Strom einer Frequenz; X_L und X_C sind für diese Frequenz einzusetzen (siehe Blindwiderstände).
- Nach X_L oder X_C lässt sich die Formel nicht eindeutig auflösen (zwei Lösungen: induktiv oder kapazitiv); der Rechner stellt deshalb nur nach Z und R um. Bekannt ist aber |X_L − X_C| = √(Z² − R²).
- Parallelschaltungen von R, L und C werden über Leitwerte (Admittanzen) gerechnet, nicht mit dieser Formel.
Typische Fehler
- R, X_L und X_C arithmetisch addiert.
- X_L und X_C addiert statt subtrahiert – sie wirken gegeneinander.