Resonanzfrequenz (Thomsonsche Schwingungsgleichung)

Bei welcher Frequenz heben sich X_L und X_C eines Schwingkreises auf?

f_{0} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot L \cdot C}

f_{0} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot L \cdot C \cdot 1 0 ^{- 9}}

L = \frac{1 0 ^{9}}{( 2 \cdot π \cdot f _{0} ) ^{2} \cdot C}

C = \frac{1 0 ^{9}}{( 2 \cdot π \cdot f _{0} ) ^{2} \cdot L}

Umstellen nach

In einem Schwingkreis aus Spule und Kondensator gibt es genau eine Frequenz, bei der induktiver und kapazitiver Blindwiderstand gleich groß sind: die Resonanzfrequenz f₀. Aus 2 · π · f · L = 1 / (2 · π · f · C) folgt die Thomsonsche Schwingungsgleichung. Im Reihenschwingkreis ist bei f₀ der Scheinwiderstand minimal (Z = R), im Parallelschwingkreis maximal.

Der Rechner erwartet L in mH und C in µF und liefert f₀ in Hz. In der Anlagentechnik ist die Resonanzfrequenz wichtig für Saugkreise (Oberschwingungsfilter), verdrosselte Kompensationsanlagen (Verstimmungsgrad), Resonanzen zwischen Kompensationskondensatoren und Netzinduktivität sowie für Filter an Frequenzumrichtern.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$f_{0}$	ResonanzfrequenzFrequenz, bei der X_L = X_C gilt	Hz
$L$	InduktivitätInduktivität der Spule (1 H = 1 000 mH)	mH
$C$	KapazitätKapazität des Kondensators	µF

Ergebnis

Rechenweg

Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.

GrafikResonanzfrequenz über der Kapazität

Beispiel: ≈ 250 Hz (5. Oberschwingung)

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Ein Saugkreis zur Dämpfung der 5. Oberschwingung besteht aus einer Drossel mit 4,05 mH und einem Kondensator mit 100 µF. Auf welche Frequenz ist er abgestimmt?

Gegeben: L = 4,05 mH = 0,00405 H, C = 100 µF = 0,0001 F. Gesucht: f₀.
Formel: f₀ = 1 / (2 · π · √(L · C)).
Einsetzen: L · C = 0,00405 H · 0,0001 F = 4,05 · 10⁻⁷ s²; √(4,05 · 10⁻⁷) s = 6,36 · 10⁻⁴ s; f₀ = 1 / (2 · π · 6,36 · 10⁻⁴ s) = 250 Hz.
Der Kreis ist auf die 5. Oberschwingung (5 · 50 Hz = 250 Hz) abgestimmt. Kontrolle: X_L = 2 · π · 250 Hz · 0,00405 H = 6,36 Ω und X_C = 1 / (2 · π · 250 Hz · 0,0001 F) = 6,37 Ω – praktisch gleich.

Ergebnis: ≈ 250 Hz (5. Oberschwingung)

Gültigkeit & Hinweise

Gilt für den verlustfreien Schwingkreis; mit Wirkwiderstand verschiebt sich die Resonanz nur geringfügig, die Resonanzüberhöhung wird aber gedämpft (Güte Q = X_L / R).
Einheiten: L in mH und C in µF; der Faktor 10⁻⁹ in der Umstellung rechnet in H und F um.
Verdrosselte Kompensationsanlagen werden bewusst unter die 5. Oberschwingung abgestimmt (Verstimmungsgrad 5 … 14 %, z. B. 189 Hz bei 7 %), damit sie Oberschwingungen nicht verstärken.

Typische Fehler

Wurzel vergessen oder nur über L gezogen.
H und mH bzw. F und µF gemischt – jede Zehnerpotenz im Produkt L · C verschiebt f₀ um den Faktor √10 ≈ 3,16.

Verwandte Formeln:

Quelle: Grundlagen der Elektrotechnik (Wechselstromtechnik, Schwingkreise)