Strömungslehre & Hydraulik

Der hydrostatische Druck ist der Druck, den eine ruhende Flüssigkeit allein durch ihr Eigengewicht ausübt. Er hängt nur von der Dichte ρ der Flüssigkeit, der Fallbeschleunigung g und der Höhe h der Flüssigkeitssäule über dem betrachteten Punkt ab – nicht von der Form oder dem Volumen des Behälters (hydrostatisches Paradoxon). Zum berechneten Wert kommt der Druck an der Oberfläche hinzu, bei offenen Behältern also der Luftdruck; die Formel liefert den Überdruck gegenüber der Oberfläche.

In der Praxis bestimmt diese Formel den statischen Druck in Heizungsanlagen (Vordruck des Membran-Ausdehnungsgefäßes), den Ruhedruck in Trinkwasser-Steigleitungen, den Bodendruck in Tanks und Becken sowie die Belastung von Behälterwänden und Schwimmbadbecken.

Der dynamische Druck – auch Staudruck oder Geschwindigkeitsdruck – ist die auf das Volumen bezogene kinetische Energie eines strömenden Fluids. Er ist der Druck, der zusätzlich zum statischen Druck entsteht, wenn die Strömung an einem Hindernis vollständig abgebremst wird, etwa an der Spitze eines Staurohrs (Prandtl-Rohr). Mit ihm werden Strömungsgeschwindigkeiten gemessen und Druckverluste berechnet, denn sowohl die Rohrreibung als auch die Einzelwiderstände sind Vielfache des Staudrucks.

Typische Anwendungen sind die Geschwindigkeitsmessung in Lüftungskanälen mit dem Staurohr, die Windlast auf Bauteile und die Druckverlustrechnung in Rohrnetzen.

Die Bernoulli-Gleichung ist der Energieerhaltungssatz der Strömungslehre: Entlang einer Stromlinie bleibt die Summe aus statischem Druck, dynamischem Druck und Höhendruck konstant, solange keine Reibung wirkt. Für eine waagerechte Leitung entfällt der Höhenanteil, und die Gleichung sagt: Wo das Fluid schneller wird, sinkt der statische Druck – und zwar um die Differenz der Staudrücke.

Die hier verwendete Form berechnet die Druckdifferenz Δp = p₁ − p₂ zwischen Querschnitt 1 (vor der Änderung) und Querschnitt 2 (danach). Ein positives Δp bedeutet, dass der statische Druck von 1 nach 2 abnimmt, weil die Strömung schneller wird, zum Beispiel in einer Rohrverengung, einer Düse oder einem Venturi-Rohr. Die Geschwindigkeiten folgen aus der Kontinuitätsgleichung.

Der Volumenstrom V̇ (gesprochen „V Punkt“) ist das Fluidvolumen, das je Zeiteinheit durch einen Querschnitt fließt. Er ergibt sich aus der durchströmten Fläche A und der mittleren Strömungsgeschwindigkeit v. Die Formel ist die Grundgleichung jeder Durchfluss- und Lüftungsrechnung und gilt für jeden Querschnitt – Rohr, Rechteckkanal oder offenes Gerinne –, solange die Fläche senkrecht zur Strömungsrichtung gemessen wird.

Der Rechner arbeitet in SI-Einheiten (m², m/s, m³/s). In der Anlagentechnik werden Volumenströme meist in m³/h (Lüftung, Heizkreise) oder l/min (Sanitär, Hydraulik) angegeben; die Umrechnung zeigt das Beispiel. Für Rohre mit Kreisquerschnitt gibt es den eigenen Rechner „Volumenstrom im Rohr“, der direkt mit dem Innendurchmesser rechnet.

Für Rohre mit Kreisquerschnitt lässt sich die Querschnittsfläche direkt aus dem Innendurchmesser berechnen: A = π · d² / 4. Zusammen mit der Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich der Volumenstrom. Dieser Rechner verwendet die in der Heizungs- und Sanitärtechnik üblichen Einheiten – Durchmesser in Millimetern, Volumenstrom in m³/h – und erledigt die Umrechnungen (mm → m, s → h) intern.

Typische Aufgaben sind die Kontrolle, ob ein vorhandenes Rohr den geforderten Volumenstrom bei vertretbarer Geschwindigkeit führen kann, oder die Berechnung der tatsächlichen Geschwindigkeit in einer bestehenden Leitung als Grundlage für Reynolds-Zahl und Druckverlust.

Bei der Rohrdimensionierung ist der Volumenstrom aus der Wärme- oder Wasserbilanz bekannt, und gesucht ist der Durchmesser, bei dem sich eine sinnvolle Strömungsgeschwindigkeit einstellt. Die Zielgeschwindigkeit ist ein Erfahrungswert: zu niedrig bedeutet unnötig große und teure Rohre, zu hoch bedeutet hohen Druckverlust, Geräusche und Verschleiß. Die Formel folgt direkt aus V̇ = π · d² / 4 · v, aufgelöst nach d.

Der so berechnete Durchmesser ist ein rechnerischer Mindestwert. In der Praxis wird die nächstgrößere handelsübliche Rohrdimension gewählt und anschließend die tatsächliche Geschwindigkeit nachgerechnet. Die Tabelle „Empfohlene Strömungsgeschwindigkeiten“ gibt Richtwerte für Heizung, Trinkwasser, Lüftung und Druckluft.

Der Massenstrom ṁ (gesprochen „m Punkt“) ist die je Zeiteinheit durch einen Querschnitt fließende Masse. Er ergibt sich aus dem Volumenstrom und der Dichte des Fluids. Während der Volumenstrom von Temperatur und Druck abhängt, bleibt der Massenstrom in einer geschlossenen Leitung konstant – deshalb rechnen Energiebilanzen mit Massenströmen: Q̇ = ṁ · c · ΔT.

Der Rechner verwendet die anlagentechnischen Einheiten m³/h und kg/h. Für Wasser bei Raumtemperatur ist der Massenstrom in kg/h zahlenmäßig fast gleich dem Volumenstrom in l/h; bei Heizwasser über 60 °C, bei Glykolgemischen, Ölen oder Luft muss die tatsächliche Dichte eingesetzt werden (siehe Tabelle „Dichte von Wasser“).

Die Kontinuitätsgleichung drückt die Massenerhaltung aus: In einer geschlossenen Leitung ist der Volumenstrom eines inkompressiblen Fluids an jeder Stelle gleich, also A₁ · v₁ = A₂ · v₂. Bei Kreisquerschnitten gehen die Flächen mit dem Quadrat des Durchmessers ein, sodass sich die Geschwindigkeit mit dem Quadrat des Durchmesserverhältnisses ändert: Halbiert sich der Durchmesser, vervierfacht sich die Geschwindigkeit.

Die Formel wird bei Reduzierungen und Erweiterungen in Rohrnetzen gebraucht, bei Düsen und Diffusoren und als Zubringer für die Bernoulli-Gleichung. Da die Durchmesser nur als Verhältnis eingehen, dürfen sie in jeder beliebigen, aber gleichen Einheit stehen.

Die Reynolds-Zahl Re ist eine dimensionslose Kennzahl, die das Verhältnis von Trägheitskräften zu Zähigkeitskräften in einer Strömung beschreibt. Sie wird aus der Strömungsgeschwindigkeit v, dem Rohrinnendurchmesser d und der kinematischen Viskosität ν (gesprochen „nü“) des Fluids gebildet. Die kinematische Viskosität ist ein Maß für die Zähflüssigkeit; sie ist für Wasser bei 20 °C etwa 1,0 · 10⁻⁶ m²/s und sinkt mit steigender Temperatur.

In Rohrströmungen gilt: Unterhalb von Re ≈ 2 300 bleibt die Strömung laminar – die Fluidschichten gleiten geordnet aneinander vorbei. Oberhalb von etwa 4 000 ist sie turbulent, also von Querbewegungen und Wirbeln durchsetzt; dazwischen liegt ein Übergangsbereich. Die Reynolds-Zahl ist der erste Schritt jeder Druckverlustrechnung, weil die Rohrreibungszahl λ davon abhängt, in welchem Bereich die Strömung liegt. In der Haustechnik sind Wasserströmungen fast immer turbulent, Heizöl in dünnen Saugleitungen dagegen oft laminar.

Die Rohrreibungszahl λ (Lambda) ist der dimensionslose Beiwert in der Darcy-Weisbach-Gleichung, der die Reibung zwischen strömendem Fluid und Rohrwand beschreibt. Bei laminarer Strömung lässt sie sich exakt aus dem Gesetz von Hagen-Poiseuille herleiten: λ = 64 / Re. Sie hängt dann nur von der Reynolds-Zahl ab, nicht von der Rauheit der Rohrwand – eine Besonderheit, die laminare Strömungen von turbulenten unterscheidet.

In der Praxis trifft man laminare Strömung bei zähen Fluiden (Heizöl, Hydrauliköl, Glykolgemische bei tiefen Temperaturen), bei sehr kleinen Durchmessern (Kapillarrohre, Fußbodenheizungsrohre bei geringem Durchfluss) oder sehr niedrigen Geschwindigkeiten an. Der Druckverlust steigt dann nur linear mit der Geschwindigkeit, nicht quadratisch wie bei Turbulenz.

Für turbulente Strömung in hydraulisch glatten Rohren liefert die Blasius-Formel eine einfache, geschlossene Näherung für die Rohrreibungszahl: λ = 0,3164 / Re^0,25. Sie gilt im Bereich 2 300 < Re < 100 000 und ist für Kupfer-, Edelstahl- und Kunststoffrohre in der Heizungs-, Sanitär- und Kältetechnik ausreichend genau. „Hydraulisch glatt“ bedeutet, dass die Wandrauheit kleiner ist als die laminare Unterschicht der Strömung und daher keinen Einfluss auf die Reibung hat.

Für raue Rohre (verzinkter Stahl, Guss, alte Leitungen) liegt λ höher; dann sind die Colebrook-Gleichung oder das Moody-Diagramm zuständig, die sich nicht geschlossen auflösen lassen. Die Blasius-Formel ist in diesen Fällen eine untere Abschätzung.

Die Gleichung von Darcy-Weisbach ist die Grundformel für den Reibungsdruckverlust in Rohrleitungen. Der Druckverlust ist proportional zur Rohrreibungszahl λ, zum Verhältnis von Rohrlänge zu Innendurchmesser und zum Staudruck ρ/2 · v². Die Rohrreibungszahl hängt von der Reynolds-Zahl und bei turbulenter Strömung zusätzlich von der Wandrauheit ab; für laminare Strömung gilt λ = 64 / Re, für turbulente Strömung in glatten Rohren die Blasius-Formel.

Mit dieser Formel wird das Rohrreibungsgefälle R = Δp / l in Pa/m berechnet, das in der Heizungs- und Sanitärplanung als Auslegungskriterium dient (üblich sind 50 bis 150 Pa/m in Heizkreisen). Zusammen mit den Einzelwiderständen ergibt sich der Gesamtdruckverlust eines Rohrnetzes und damit die erforderliche Förderhöhe der Pumpe. Der Rechner erwartet den Durchmesser in Millimetern und rechnet intern in Meter um.

Jedes Einbauteil, das die Strömung umlenkt, aufteilt oder einschnürt – Bogen, T-Stück, Ventil, Querschnittssprung, Ein- oder Auslauf – erzeugt einen zusätzlichen Druckverlust. Er wird als Vielfaches des Staudrucks ausgedrückt; der Faktor ist die dimensionslose Widerstandszahl ζ (Zeta). Mehrere Einzelwiderstände in einer Leitung werden einfach addiert: Σζ, solange sie weit genug auseinanderliegen, um sich nicht gegenseitig zu beeinflussen.

Die ζ-Werte stammen aus Versuchen und Herstellerangaben; die Tabelle „Widerstandszahlen ζ“ nennt grobe Richtwerte für die gängigsten Bauteile. In kurzen, verwinkelten Leitungen überwiegen die Einzelwiderstände oft den Reibungsverlust der geraden Rohre. Armaturen werden in der Haustechnik häufig über den Kv-Wert statt über ζ beschrieben.

Der Kv-Wert ist der Durchflusskennwert einer Armatur: der Volumenstrom in m³/h Wasser (bei 5 bis 30 °C, Dichte 1000 kg/m³), der bei einem Druckverlust von genau 1 bar durch das Ventil fließt. Hersteller geben ihn für jede Ventilstellung an; der Wert bei voller Öffnung heißt Kvs. Da der Druckverlust quadratisch mit dem Volumenstrom wächst, lassen sich mit dem Kv-Wert Druckverlust und Durchfluss bei beliebigen Betriebspunkten umrechnen. Für andere Flüssigkeiten geht die Dichte über das Verhältnis ρ / 1000 kg/m³ ein.

Der Kv-Wert ist das zentrale Werkzeug beim hydraulischen Abgleich von Heizungsanlagen (Voreinstellung von Thermostat- und Strangregulierventilen) und bei der Auswahl von Regel- und Mischventilen. Abweichend von den übrigen Rechnern dieses Bereichs wird der Druckverlust hier in bar eingegeben, weil der Kv-Wert auf 1 bar bezogen definiert ist (1 bar = 1 000 mbar = 100 000 Pa).

Die hydraulische Leistung ist die Leistung, die eine Pumpe oder ein Ventilator tatsächlich an das Fluid abgibt: das Produkt aus Volumenstrom und erzeugter Druckdifferenz. Sie ist die Nutzleistung der Strömungsmaschine – ohne Verluste in Laufrad, Lager und Motor. Umgekehrt ist sie die Leistung, die ein Fluid beim Durchströmen eines Widerstands als Wärme verliert.

Der Rechner verwendet den Volumenstrom in m³/h und die Druckdifferenz in Pascal, wie sie aus der Rohrnetzberechnung kommen, und liefert die Leistung in Watt. Sie ist der Ausgangspunkt für die Pumpenauswahl und für die Bewertung von Energieeffizienz: Hohe Druckverluste bei großem Volumenstrom bedeuten hohe Pumpenleistung über tausende Betriebsstunden im Jahr.

Die elektrische Leistungsaufnahme einer Pumpe ist die hydraulische Leistung geteilt durch den Gesamtwirkungsgrad η (Eta). Dieser fasst die Verluste in der Pumpe selbst (Strömungs-, Spalt- und Reibungsverluste im Laufrad) und im Motor zusammen: η = η_Pumpe · η_Motor. Kleine Nassläufer-Umwälzpumpen erreichen Gesamtwirkungsgrade von nur 20 bis 50 %, große Kreiselpumpen mit Normmotor 60 bis 80 %.

Die Formel wird zur Vorauswahl der Pumpe, zur Abschätzung des Stromverbrauchs (Leistung mal Betriebsstunden) und zur Bewertung von Effizienzmaßnahmen gebraucht: Wer den Druckverlust eines Netzes halbiert, halbiert bei gleichem Volumenstrom auch die Antriebsleistung.

Pumpenkennlinien geben die erzeugte Druckerhöhung traditionell als Förderhöhe H in Metern Flüssigkeitssäule an – die Höhe, auf die die Pumpe das Fluid theoretisch heben könnte. Rohrnetzberechnungen liefern dagegen Druckverluste in Pascal oder bar. Die Umrechnung erfolgt über die Dichte des Fluids: Δp = ρ · g · H. Für Wasser entspricht 1 bar rund 10,2 m Förderhöhe und 1 m Wassersäule etwa 0,098 bar.

Die Förderhöhe ist unabhängig vom Fluid – eine Pumpe hebt Wasser und Öl bei gleicher Drehzahl gleich hoch –, der erzeugte Druck dagegen nicht. Deshalb muss bei Glykolgemischen oder anderen Flüssigkeiten die tatsächliche Dichte eingesetzt werden.

Die Leistung einer Wasserkraftanlage folgt aus der Lageenergie des Wassers: Ein Volumenstrom Q, der die Fallhöhe H überwindet, setzt je Sekunde die Energie ρ · g · Q · H frei. Der Wirkungsgrad η fasst die Verluste in Turbine, Getriebe und Generator zusammen; moderne Anlagen erreichen 80 bis 90 %. Die Fallhöhe ist die Nettofallhöhe – die Bruttohöhe abzüglich der Reibungsverluste in Einlauf, Druckrohrleitung und Auslauf.

Die Formel dient zur Potenzialabschätzung von Kleinwasserkraft-Standorten und zur Jahresertragsrechnung (Leistung mal Volllaststunden). Sie ist das Gegenstück zur Pumpenleistung: Dort wird Leistung aufgewendet, um Wasser zu heben; hier wird Leistung gewonnen, wenn es fällt.

Das Ausflussgesetz von Torricelli beschreibt, wie schnell eine Flüssigkeit aus einer Öffnung ausströmt, die sich in der Tiefe h unter dem freien Flüssigkeitsspiegel befindet. Es folgt aus der Bernoulli-Gleichung: Die Lageenergie der Flüssigkeitssäule wandelt sich vollständig in Bewegungsenergie um, daher ist die Ausflussgeschwindigkeit genauso groß wie die Geschwindigkeit eines Körpers nach dem freien Fall aus der Höhe h. Sie hängt nur von h ab – nicht von der Dichte der Flüssigkeit und nicht von der Größe der Öffnung.

Die Formel liefert die theoretische Geschwindigkeit ohne Reibung und Strahleinschnürung. Der tatsächliche Volumenstrom ist kleiner und wird mit einer Ausflusszahl μ berechnet: V̇ = μ · A · √(2 · g · h), mit μ ≈ 0,6 für scharfkantige Bohrungen und bis etwa 0,97 für gut gerundete Düsen. Anwendungen sind die Entleerung von Tanks und Becken, Überläufe, Notablässe und Löschwasserentnahmen.

Nach dem Prinzip des Archimedes erfährt jeder Körper in einem Fluid eine nach oben gerichtete Auftriebskraft, die gleich der Gewichtskraft des von ihm verdrängten Fluids ist. Sie hängt nur von der Dichte des Fluids und dem eingetauchten Volumen ab – nicht vom Material oder Gewicht des Körpers. Ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt, entscheidet der Vergleich von Auftriebskraft und Gewichtskraft.

In der Technik ist der Auftrieb vor allem dort wichtig, wo er unerwünscht ist: Erdverlegte Tanks, Zisternen, Schächte und Schwimmbecken können bei hohem Grundwasser aufschwimmen, wenn sie leer sind und nicht gegen Auftrieb gesichert wurden. Die Formel liefert die Kraft, die durch Ballast, Verankerung oder Erdauflast aufgenommen werden muss. Weitere Anwendungen sind Schwimmerschalter, Tauchkörper in Behältern und Pontons.