Bernoulli-Gleichung (horizontal, reibungsfrei)

Wie ändert sich der statische Druck, wenn sich die Strömungsgeschwindigkeit von v₁ auf v₂ ändert?

Δ p = \frac{ρ}{2} \cdot (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

Δ p = \frac{ρ}{2} \cdot (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

v_{2} = \frac{2 \cdot Δ p}{ρ} + v_{1}^{2}

v_{1} = v_{2}^{2} - \frac{2 \cdot Δ p}{ρ}

ρ = \frac{2 \cdot Δ p}{v _{2}^{2} - v _{1}^{2}}

Umstellen nach

Die Bernoulli-Gleichung ist der Energieerhaltungssatz der Strömungslehre: Entlang einer Stromlinie bleibt die Summe aus statischem Druck, dynamischem Druck und Höhendruck konstant, solange keine Reibung wirkt. Für eine waagerechte Leitung entfällt der Höhenanteil, und die Gleichung sagt: Wo das Fluid schneller wird, sinkt der statische Druck – und zwar um die Differenz der Staudrücke.

Die hier verwendete Form berechnet die Druckdifferenz Δp = p₁ − p₂ zwischen Querschnitt 1 (vor der Änderung) und Querschnitt 2 (danach). Ein positives Δp bedeutet, dass der statische Druck von 1 nach 2 abnimmt, weil die Strömung schneller wird, zum Beispiel in einer Rohrverengung, einer Düse oder einem Venturi-Rohr. Die Geschwindigkeiten folgen aus der Kontinuitätsgleichung.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$Δ p$	Druckdifferenz p₁ − p₂Abnahme des statischen Drucks von Querschnitt 1 nach Querschnitt 2 (positiv, wenn die Strömung schneller wird)	Pa
$ρ$	Dichte des FluidsWasser ≈ 1000 kg/m³, Luft ≈ 1,2 kg/m³	kg/m³
$v_{1}$	Geschwindigkeit im Querschnitt 1Geschwindigkeit vor der Querschnittsänderung	m/s
$v_{2}$	Geschwindigkeit im Querschnitt 2Geschwindigkeit nach der Querschnittsänderung	m/s

Ergebnis

Rechenweg

Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.

GrafikDruckabnahme über der Geschwindigkeit im Querschnitt 2

Beispiel: ≈ 1 777 Pa ≈ 17,8 mbar

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Eine waagerechte Wasserleitung verengt sich; die Geschwindigkeit steigt dabei von 0,8 m/s auf 2,048 m/s. Um wie viel sinkt der statische Druck in der Verengung (Reibung vernachlässigt)?

Gegeben: ρ = 1000 kg/m³, v₁ = 0,8 m/s, v₂ = 2,048 m/s. Gesucht: Δp = p₁ − p₂.
Formel: Δp = ρ / 2 · (v₂² − v₁²).
Einsetzen: Δp = 1000 kg/m³ ÷ 2 · ((2,048 m/s)² − (0,8 m/s)²) = 500 kg/m³ · (4,194 − 0,64) m²/s² = 500 · 3,554 Pa ≈ 1 777 Pa.
Umrechnen: 1 777 Pa ≈ 17,8 mbar. Der statische Druck in der Verengung liegt also rund 18 mbar unter dem Druck davor.

Ergebnis: ≈ 1 777 Pa ≈ 17,8 mbar

Gültigkeit & Hinweise

Gilt für stationäre, reibungsfreie, inkompressible Strömung in waagerechter Leitung. Bei Höhenunterschied kommt auf der rechten Seite der Term ρ · g · (z₂ − z₁) hinzu (z = Höhe über Bezugsniveau), bei realen Rohren der Druckverlust durch Reibung.
Vorzeichenkonvention: Δp = p₁ − p₂. Wird die Strömung langsamer (v₂ < v₁), ist Δp negativ – der statische Druck steigt (Diffusor).
Bei der Umstellung nach v₁ muss v₂² ≥ 2 · Δp / ρ sein, sonst gibt es keine reelle Lösung.

Typische Fehler

Geschwindigkeiten vertauscht: v₁ ist die Geschwindigkeit vor, v₂ die nach der Querschnittsänderung.

Verwandte Formeln:

Quelle: Grundlagen Strömungslehre (z. B. Bohl/Elmendorf: Technische Strömungslehre)