Carnot-Wirkungsgrad

Welchen Wirkungsgrad kann eine Wärmekraftmaschine zwischen zwei Temperaturen höchstens erreichen?

η_{C} = 1 - \frac{T _{k}}{T _{w}}

η_{C} = 1 - \frac{T _{k}}{T _{w}}

T_{k} = T_{w} \cdot (1 - η_{C})

T_{w} = \frac{T _{k}}{1 - η _{C}}

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Der Carnot-Wirkungsgrad ist die physikalische Obergrenze für jede Maschine, die aus Wärme Arbeit gewinnt – Dampfturbine, Verbrennungsmotor, Gasturbine, ORC-Anlage. Er hängt nur von der absoluten Temperatur T_w, bei der die Wärme zugeführt wird, und der absoluten Temperatur T_k ab, bei der die Abwärme abgegeben wird: η_C = 1 − T_k/T_w. Je größer der Temperaturunterschied, desto mehr der zugeführten Wärme lässt sich bestenfalls in Arbeit umwandeln; der Rest muss als Abwärme abfließen. Das ist eine Folge des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, keine technische Unzulänglichkeit.

Reale Anlagen bleiben deutlich darunter: Moderne Dampfkraftwerke erreichen etwa 40 … 45 %, Gas- und Dampfturbinenkraftwerke bis rund 60 %, Blockheizkraftwerke elektrisch 30 … 40 % – jeweils gemessen an einem Carnot-Wert von 60 … 70 %. Die Formel zeigt, warum hohe Prozesstemperaturen und tiefe Kühltemperaturen (Flusswasser, Kühlturm) so wichtig sind und warum Niedertemperatur-Abwärme nur schlecht verstromt werden kann. Der Wirkungsgrad wird hier als Zahl zwischen 0 und 1 ausgegeben (0,61 = 61 %).

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$η_{C}$	Carnot-Wirkungsgradmaximal möglicher thermischer Wirkungsgrad als Zahl 0 … 1 (mal 100 = Prozent)	–
$T_{w}$	absolute Temperatur der Wärmezufuhrobere Prozesstemperatur in Kelvin (ϑ + 273,15), z. B. Frischdampf	K
$T_{k}$	absolute Temperatur der Wärmeabgabeuntere Prozesstemperatur in Kelvin, z. B. Kondensator/Kühlwasser	K

Ergebnis

Rechenweg

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GrafikCarnot-Wirkungsgrad über der oberen Prozesstemperatur

Beispiel: ≈ 0,61 (61 %)

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Eine Dampfturbine erhält Frischdampf mit 500 °C; der Kondensator wird mit Kühlwasser auf 30 °C gehalten. Welchen Wirkungsgrad könnte der Prozess bestenfalls erreichen?

Gegeben: T_w = 500 °C + 273,15 = 773,15 K; T_k = 30 °C + 273,15 = 303,15 K. Gesucht: η_C.
Formel: η_C = 1 − T_k / T_w.
Einsetzen: η_C = 1 − 303,15 K / 773,15 K = 1 − 0,392 ≈ 0,608, also rund 61 %.
Praxis: Ein reales Dampfkraftwerk mit diesen Temperaturen erreicht etwa 40 … 45 %, weil Dampfprozess, Turbine, Generator und Eigenbedarf Verluste verursachen. Mindestens 39 % der Brennstoffwärme müssen selbst im Idealfall als Abwärme abgeführt werden.

Ergebnis: ≈ 0,61 (61 %)

Gültigkeit & Hinweise

Obergrenze für alle Wärmekraftmaschinen zwischen diesen Temperaturen; reale Wirkungsgrade liegen deutlich darunter.
Beide Temperaturen in Kelvin; T_w muss größer als T_k sein, sonst ist kein Prozess möglich (η ≤ 0).
Maßgebend sind die Temperaturen des Arbeitsmediums bei Wärmezu- und -abfuhr, nicht die Flammentemperatur oder die Außenlufttemperatur.
Der Kehrwert-Gedanke führt zur Wärmepumpe: Die Carnot-Leistungszahl ist ε_WP = 1/η_C.

Typische Fehler

°C statt K einsetzen – mit 500 und 30 ergäbe sich fälschlich η = 0,94.
Den Carnot-Wirkungsgrad als erreichbaren Wirkungsgrad einer realen Anlage verwenden.

Verwandte Formeln:

Quelle: Grundlagen der Thermodynamik (z. B. Cerbe/Wilhelms, Baehr/Kabelac)