Leistungszahl der Wärmepumpe (Carnot-Grenze)

Welche Leistungszahl kann eine Wärmepumpe bei gegebener Quellen- und Vorlauftemperatur höchstens erreichen?

ε_{W P} = \frac{T _{w}}{T _{w} - T _{k}}

ε_{W P} = \frac{T _{w}}{T _{w} - T _{k}}

T_{w} = \frac{ε _{W P} \cdot T _{k}}{ε _{W P} - 1}

T_{k} = T_{w} \cdot \frac{ε _{W P} - 1}{ε _{W P}}

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Eine Wärmepumpe hebt Wärme von einer kalten Quelle (Außenluft, Erdreich, Grundwasser) auf das Temperaturniveau der Heizung. Die Leistungszahl ε (auch COP) gibt an, wie viel Heizwärme je eingesetzter Antriebsarbeit geliefert wird. Ihre theoretische Obergrenze ist die Carnot-Leistungszahl ε_WP = T_w / (T_w − T_k), mit der absoluten Temperatur T_w der Wärmeabgabe (Heizungsvorlauf bzw. Kondensation) und T_k der Wärmeaufnahme (Quelle bzw. Verdampfung). Entscheidend ist der Temperaturhub T_w − T_k: Je kleiner er ist, desto höher die Leistungszahl – deshalb sind niedrige Vorlauftemperaturen (Fußbodenheizung) und warme Quellen (Erdreich, Grundwasser) so wirksam.

Reale Wärmepumpen erreichen etwa 40 … 55 % des Carnot-Werts (Gütegrad), weil Verdichter, Wärmeübertrager und Druckverluste Verluste verursachen und das Kältemittel einige Kelvin kälter verdampfen bzw. wärmer kondensieren muss als Quelle und Senke. Als Faustwert gilt daher ε_real ≈ 0,45 · ε_WP. Für Kältemaschinen gilt entsprechend ε_K = T_k / (T_w − T_k) = ε_WP − 1.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$ε_{W P}$	Carnot-Leistungszahl (Wärmepumpe)theoretische Obergrenze der Leistungszahl (dimensionslos); real etwa 40 … 55 % davon	–
$T_{w}$	absolute Temperatur der Wärmeabgabe (Senke)Vorlauf- bzw. Kondensationstemperatur in Kelvin (ϑ + 273,15)	K
$T_{k}$	absolute Temperatur der WärmequelleQuellen- bzw. Verdampfungstemperatur in Kelvin (Außenluft, Sole, Grundwasser)	K

Ergebnis

Rechenweg

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GrafikCarnot-Leistungszahl über der Quellentemperatur (−30 … +25 °C)

Beispiel: ≈ 9,3 (real etwa 4,2)

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Eine Luft-Wasser-Wärmepumpe versorgt eine Fußbodenheizung mit 35 °C Vorlauf; die Außenluft hat 2 °C. Welche Leistungszahl ist theoretisch möglich, und welcher reale Wert ist zu erwarten?

Gegeben: T_w = 35 °C + 273,15 = 308,15 K; T_k = 2 °C + 273,15 = 275,15 K. Gesucht: ε_WP.
Formel: ε_WP = T_w / (T_w − T_k).
Einsetzen: ε_WP = 308,15 K / (308,15 K − 275,15 K) = 308,15 / 33 ≈ 9,34.
Realistisch: Mit einem Gütegrad von etwa 45 % ergibt sich ε_real ≈ 0,45 · 9,34 ≈ 4,2 – das entspricht dem Betriebspunkt A2/W35 guter Geräte.
Vergleich: Bei 55 °C Vorlauf (Radiatoren) sinkt ε_WP auf 328,15 / 53 ≈ 6,2 und der reale Wert auf rund 2,8.

Ergebnis: ≈ 9,3 (real etwa 4,2)

Gültigkeit & Hinweise

Theoretische Obergrenze; reale Wärmepumpen erreichen etwa 40 … 55 % davon (Gütegrad), Faustwert ε_real ≈ 0,45 · ε_WP.
Beide Temperaturen in Kelvin; T_w muss größer als T_k sein. Für den Kältemittelkreis liegen Verdampfungs- und Kondensationstemperatur zusätzlich etwa 3 … 8 K außerhalb von Quellen- und Senkentemperatur.
Kältemaschine (Nutzen = Kälte): ε_K = T_k / (T_w − T_k) = ε_WP − 1.
Die über das Jahr gemittelte Leistungszahl heißt Jahresarbeitszahl (JAZ); sie ist niedriger als die Leistungszahl im günstigsten Betriebspunkt.

Typische Fehler

°C statt K einsetzen – das Ergebnis wäre völlig falsch (35 / 33 ≈ 1,06).
Carnot-Wert als Herstellerangabe oder JAZ interpretieren.

Verwandte Formeln:

Quelle: Grundlagen der Thermodynamik (z. B. Cerbe/Wilhelms), Recknagel/Sprenger