Wärmeleitung durch eine ebene Wand (Fourier)

Welcher Wärmestrom fließt durch eine Platte oder Wand, wenn beide Oberflächen unterschiedlich warm sind?

Q ˙ = λ \cdot A \cdot \frac{T _{1} - T _{2}}{d}

Q ˙ = λ \cdot A \cdot \frac{T _{1} - T _{2}}{d}

d = \frac{λ \cdot A \cdot ( T _{1} - T _{2} )}{Q ˙}

λ = \frac{Q ˙ \cdot d}{A \cdot ( T _{1} - T _{2} )}

A = \frac{Q ˙ \cdot d}{λ \cdot ( T _{1} - T _{2} )}

T_{1} = T_{2} + \frac{Q ˙ \cdot d}{λ \cdot A}

T_{2} = T_{1} - \frac{Q ˙ \cdot d}{λ \cdot A}

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Wärmeleitung ist der Wärmetransport im Inneren eines ruhenden Stoffs, von der warmen zur kalten Seite. Für eine ebene Wand mit der Dicke d, der Fläche A und den Oberflächentemperaturen T₁ (warm) und T₂ (kalt) liefert das Fouriersche Gesetz im stationären Zustand den Wärmestrom Q̇ = λ · A · (T₁ − T₂) / d. Die Wärmeleitfähigkeit λ (lambda) ist ein Stoffwert: Dämmstoffe liegen bei 0,02 … 0,05 W/(m·K), Beton bei rund 2, Stahl bei rund 50, Kupfer bei fast 400 W/(m·K). Der Wärmestrom je Quadratmeter (Wärmestromdichte q = Q̇/A) hängt also nur von λ, d und der Temperaturdifferenz ab.

Wichtig: T₁ und T₂ sind die Temperaturen der beiden Wandoberflächen, nicht die Luft- oder Fluidtemperaturen auf beiden Seiten. Sind nur diese bekannt, kommen die Wärmeübergänge hinzu – dann ist der Wärmedurchgangskoeffizient k (eigene Formel) das richtige Werkzeug. Typische Anwendungen sind Dämmplatten an Speichern und Kanälen, Ofen- und Behälterwände, Kühlzellen und die Abschätzung von Wärmebrücken.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$Q ˙$	Wärmestromdurch die Wand geleitete Wärmeleistung (von warm nach kalt)	W
$λ$	WärmeleitfähigkeitStoffwert des Wandmaterials (siehe Tabelle)	W/(m·K)
$A$	Flächedurchströmte Wandfläche senkrecht zum Wärmestrom	m²
$T_{1}$	Oberflächentemperatur warme SeiteTemperatur der Wandoberfläche auf der warmen Seite	°C
$T_{2}$	Oberflächentemperatur kalte SeiteTemperatur der Wandoberfläche auf der kalten Seite	°C
$d$	WanddickeDicke der Wand in Metern (100 mm = 0,1 m)	m

Ergebnis

Rechenweg

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Grafik

Beispiel: 26,6 W (≈ 13,3 W/m²)

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Die Seitenwand eines Pufferspeichers (Fläche 2,0 m²) ist mit 100 mm Mineralwolle (λ = 0,035 W/(m·K)) gedämmt. Die Blechoberfläche unter der Dämmung hat 60 °C, die Dämmoberfläche außen 22 °C. Welcher Wärmestrom geht durch die Dämmung verloren?

Gegeben: λ = 0,035 W/(m·K), A = 2,0 m², T₁ = 60 °C, T₂ = 22 °C, d = 100 mm = 0,1 m. Gesucht: Q̇.
Formel: Q̇ = λ · A · (T₁ − T₂) / d.
Einsetzen: Q̇ = 0,035 W/(m·K) · 2,0 m² · (60 − 22) K / 0,1 m = 0,035 · 2,0 · 38 / 0,1 W = 26,6 W.
Praxis: Das sind 13,3 W/m² Wärmestromdichte; über ein Jahr (8 760 h) gehen durch diese 2 m² rund 233 kWh verloren. Ohne Dämmung wäre der Verlust um ein Vielfaches höher.

Ergebnis: 26,6 W (≈ 13,3 W/m²)

Gültigkeit & Hinweise

Gilt im stationären Zustand (Temperaturen zeitlich konstant), für eine homogene Wand und eindimensionalen Wärmestrom (Randeffekte vernachlässigt).
T₁ und T₂ sind Oberflächentemperaturen. Mit Luft- bzw. Fluidtemperaturen auf beiden Seiten den Wärmedurchgangskoeffizienten k verwenden.
λ ist temperatur- und feuchteabhängig; für Dämmstoffe den Bemessungswert des Herstellers (λ_B) verwenden.
Für mehrere Schichten addieren sich die Wärmedurchlasswiderstände R = d/λ; der Wärmestrom ist dann Q̇ = A · (T₁ − T₂) / ΣR.

Typische Fehler

d in Millimetern statt Metern einsetzen – der Wärmestrom wird dann um den Faktor 1 000 zu klein.
Lufttemperaturen statt Oberflächentemperaturen verwenden; das überschätzt den Wärmestrom, vor allem bei dünnen oder gut leitenden Wänden.

Verwandte Formeln:

Quelle: Grundlagen der Wärmeübertragung (z. B. Baehr/Stephan, VDI-Wärmeatlas), DIN EN ISO 6946