Resultierende zweier Kräfte
Wie groß ist die Gesamtkraft aus zwei Kräften mit Zwischenwinkel γ?
Greifen zwei Kräfte F₁ und F₂ im selben Punkt an, lassen sie sich zu einer Resultierenden F_R zusammenfassen. Ihr Betrag folgt aus dem Kräfteparallelogramm mit dem Kosinussatz; γ ist der Winkel zwischen den beiden Kraftrichtungen. Für γ = 90° wird die Formel zum Satz des Pythagoras, für γ = 0° addieren sich die Beträge, für γ = 180° wird die Differenz gebildet.
Typische Anwendungen: zwei Seile an einem Anschlagpunkt, zwei Abspannungen an einem Mast, Vorschub- und Schnittkraft an einem Werkzeug, Wind- und Gewichtslast an einer Konstruktion. Die Formel liefert nur den Betrag der Resultierenden; ihre Richtung ergibt sich aus der Zerlegung in Komponenten.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Resultierende KraftBetrag der Gesamtkraft aus F₁ und F₂ | N | |
| Kraft 1Betrag der ersten Kraft | N | |
| Kraft 2Betrag der zweiten Kraft | N | |
| ZwischenwinkelWinkel zwischen den Richtungen von F₁ und F₂ (0° … 180°) | ° |
Rechenweg
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Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
An einer Ringschraube (Anschlagpunkt) einer Stahlkonstruktion greifen zwei Seilkräfte an: F₁ = 3 000 N und F₂ = 4 000 N, der Winkel zwischen den Seilen beträgt 60°. Mit welcher Gesamtkraft wird der Anschlagpunkt belastet?
- Gegeben: F₁ = 3 000 N, F₂ = 4 000 N, γ = 60°. Gesucht: F_R.
- Formel: F_R = √(F₁² + F₂² + 2 · F₁ · F₂ · cos γ).
- Einsetzen: F_R = √(3 000² + 4 000² + 2 · 3 000 · 4 000 · cos 60°) N = √(9 000 000 + 16 000 000 + 12 000 000) N = √37 000 000 N.
- Ergebnis: F_R ≈ 6 083 N ≈ 6,1 kN. Zum Vergleich: Bei γ = 90° wären es 5 000 N, bei γ = 0° die volle Summe 7 000 N.
Ergebnis: 6 083 N ≈ 6,1 kN
Gültigkeit & Hinweise
- γ ist der Winkel zwischen den beiden Kraftrichtungen (0° … 180°). Wird stattdessen der Innenwinkel des Kräftedreiecks verwendet, muss das Vorzeichen des Kosinus-Terms umgedreht werden.
- Nach F₁ oder F₂ wird nicht umgestellt: Die Auflösung führt auf eine quadratische Gleichung mit bis zu zwei Lösungen (oder keiner); solche Aufgaben werden über die Kraftkomponenten gelöst.
- Für die Umstellung nach γ muss |F₁ − F₂| ≤ F_R ≤ F₁ + F₂ gelten, sonst gibt es keinen reellen Winkel.
- Die Formel liefert nur den Betrag; die Richtung der Resultierenden folgt aus der Komponentenzerlegung.
Typische Fehler
- Vorzeichen des Kosinus-Terms: Mit dem Zwischenwinkel γ gilt „+“; mit dem Innenwinkel des Kräftedreiecks (180° − γ) gilt „−“ (Kosinussatz).
- Kräfte aus verschiedenen Angriffspunkten zusammengefasst – die Formel gilt für ein zentrales Kräftesystem.