Zweistützbalken mit mittiger Einzellast: Durchbiegung

Wie stark hängt ein frei aufliegender Träger unter einer mittigen Einzellast durch?

f = \frac{F \cdot L ^{3}}{48 \cdot E \cdot I}

f = \frac{F \cdot L ^{3}}{48 \cdot E \cdot I}

F = \frac{48 \cdot E \cdot I \cdot f}{L ^{3}}

L = 3 \frac{48 \cdot E \cdot I \cdot f}{F}

E = \frac{F \cdot L ^{3}}{48 \cdot I \cdot f}

I = \frac{F \cdot L ^{3}}{48 \cdot E \cdot f}

Umstellen nach

Die größte Durchbiegung des Einfeldträgers mit mittiger Einzellast tritt in Feldmitte auf: f = F · L³ / (48 · E · I). Wie bei allen Biegelinien bestimmen die Biegesteifigkeit E · I und die dritte Potenz der Stützweite das Ergebnis.

Die Durchbiegung ist ein Gebrauchstauglichkeitsnachweis: Auch wenn die Spannung noch zulässig ist, dürfen Träger nicht so weit durchhängen, dass Decken reißen, Türen klemmen, Kranbahnen nicht mehr laufen oder Wellen in ihren Lagern verkanten. Übliche Grenzwerte sind L/300 für Deckenträger und Pfetten, L/500 bis L/1 000 für Kranbahnen und Wellen – die jeweilige Norm oder Herstellervorgabe ist maßgebend.

Der Rechner löst auch nach I auf: Damit lässt sich direkt das erforderliche Flächenträgheitsmoment für eine zulässige Durchbiegung bestimmen und daraus ein Profil wählen.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$f$	Durchbiegunggrößte Durchbiegung in Feldmitte	mm
$F$	EinzellastKraft in Feldmitte (1 kN = 1 000 N)	N
$L$	StützweiteAbstand der beiden Auflager	mm
$E$	ElastizitätsmodulWerkstoffkennwert	N/mm²
$I$	Flächenträgheitsmomentum die Biegeachse (Profiltabelle: 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴)	mm⁴

Ergebnis

Rechenweg

Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.

Grafik

Beispiel: ≈ 22,0 mm (> L/300 = 20 mm)

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Der Hallenträger IPE 240 (I_y = 3 892 cm⁴, Stahl) mit 6,0 m Stützweite trägt mittig 40 kN. Wie groß ist die Durchbiegung in Feldmitte, und ist der Grenzwert L/300 eingehalten?

Umrechnen: F = 40 000 N; L = 6 000 mm; E = 210 000 N/mm²; I = 3 892 cm⁴ = 38 920 000 mm⁴.
Formel: f = F · L³ / (48 · E · I).
Einsetzen: f = 40 000 N · (6 000 mm)³ / (48 · 210 000 N/mm² · 38 920 000 mm⁴) = 8,64 · 10¹⁵ / 3,923 · 10¹⁴ mm ≈ 22,0 mm.
Grenzwert: L/300 = 6 000 mm / 300 = 20 mm. Die Durchbiegung von 22 mm überschreitet den Grenzwert – ein steiferes Profil ist nötig.
Umgestellt nach I: I_erf = F · L³ / (48 · E · f_zul) = 8,64 · 10¹⁵ / (48 · 210 000 · 20) mm⁴ ≈ 42 860 000 mm⁴ = 4 286 cm⁴ → IPE 270 (I_y = 5 790 cm⁴) erfüllt die Anforderung.

Ergebnis: ≈ 22,0 mm (> L/300 = 20 mm)

Gültigkeit & Hinweise

Gilt für beidseitig gelenkige Lagerung, mittige Einzellast, konstanten Querschnitt und kleine Durchbiegungen.
Eigengewicht nicht enthalten; die Durchbiegung aus Gleichlast (5 · q · L⁴ / (384 · E · I)) ist zu addieren.
Schubverformungen sind vernachlässigt – bei sehr kurzen, hohen Trägern (L/h < 10) können sie spürbar werden.

Typische Fehler

I in cm⁴ statt mm⁴ einsetzen (Faktor 10 000).
Stützweite in m einsetzen – da L kubisch eingeht, ist das Ergebnis um 10⁹ falsch.

Verwandte Formeln:

Quelle: Tabellenbuch Metall; Schneider: Bautabellen (Balkentafeln)