Kragbalken mit Einzellast: Durchbiegung
Wie weit senkt sich das freie Ende eines Kragarms unter einer Einzellast?
Die Durchbiegung f am freien Ende eines Kragbalkens unter einer Einzellast F folgt aus der Biegelinie: f = F · L³ / (3 · E · I). Das Produkt E · I ist die Biegesteifigkeit; die Länge geht mit der dritten Potenz ein, sodass ein doppelt so langer Kragarm achtmal so stark durchhängt.
Die Formel gilt für konstanten Querschnitt, starre Einspannung und linear-elastisches Verhalten. Der Kragarm ist der Balkenfall mit der größten Durchbiegung: Bei gleicher Last und Länge biegt er sich 16-mal stärker durch als ein Zweistützbalken mit mittiger Last.
In der Praxis ist die Durchbiegung oft der maßgebende Nachweis, bevor die Spannung kritisch wird – etwa bei Konsolen, Vordächern oder Messaufbauten, bei denen eine Verformung von wenigen Millimetern bereits stört. Übliche Grenzwerte liegen je nach Anwendung in der Größenordnung von L/150 bis L/300 der Kragarmlänge.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| DurchbiegungAbsenkung des freien Endes | mm | |
| EinzellastKraft am freien Ende (1 kN = 1 000 N) | N | |
| KragarmlängeAbstand von der Einspannung bis zum Lastangriff | mm | |
| ElastizitätsmodulWerkstoffkennwert | N/mm² | |
| Flächenträgheitsmomentum die Biegeachse (Profiltabelle: 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴) | mm⁴ |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Die Stahlkonsole aus dem vorigen Beispiel (IPE 100, I_y = 171 cm⁴) ist 800 mm lang und trägt am Ende 3 kN. Wie groß ist die Durchbiegung am freien Ende?
- Umrechnen: F = 3 000 N; L = 800 mm; E = 210 000 N/mm²; I = 171 cm⁴ = 1 710 000 mm⁴ (1 cm⁴ = 10 000 mm⁴).
- Formel: f = F · L³ / (3 · E · I).
- Einsetzen: f = 3 000 N · (800 mm)³ / (3 · 210 000 N/mm² · 1 710 000 mm⁴) = 1,536 · 10¹² / 1,077 · 10¹² mm ≈ 1,43 mm.
- Bewertung: f = 1,43 mm entspricht L/560 – deutlich unter den üblichen Grenzwerten von L/150 bis L/300. Die Konsole ist ausreichend steif.
Ergebnis: ≈ 1,43 mm (L/560)
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt für konstanten Querschnitt, starre Einspannung und kleine Durchbiegungen (f ≪ L).
- Eigengewicht nicht berücksichtigt; für eine Gleichlast q auf dem Kragarm gilt f = q · L⁴ / (8 · E · I).
- Eine nachgiebige Einspannung (z. B. Schraubanschluss) vergrößert die tatsächliche Durchbiegung.
Typische Fehler
- I in cm⁴ statt mm⁴ einsetzen (Faktor 10 000).
- L in m einsetzen – da L kubisch eingeht, ist das Ergebnis dann um den Faktor 10⁹ falsch.