Zweistützbalken mit Gleichlast: Durchbiegung
Wie stark hängt ein frei aufliegender Träger unter Gleichlast durch?
Die größte Durchbiegung des Einfeldträgers unter Gleichlast liegt in Feldmitte: f = 5 · q · L⁴ / (384 · E · I). Die Stützweite geht hier mit der vierten Potenz ein – eine um 10 % größere Spannweite erhöht die Durchbiegung um rund 46 %. Deshalb ist bei weit gespannten Pfetten, Deckenbalken und Rohrbrückenträgern fast immer die Durchbiegung und nicht die Spannung maßgebend.
Die Formel setzt konstanten Querschnitt, konstante Streckenlast und beidseitig gelenkige Lagerung voraus. Übliche Grenzwerte liegen bei L/200 bis L/300, bei Decken mit empfindlichem Ausbau auch bei L/500.
Für Holz ist zu beachten, dass der E-Modul deutlich niedriger ist als bei Stahl (Nadelholz C24 längs zur Faser etwa 11 000 N/mm²) und dass unter Dauerlast zusätzlich Kriechverformungen auftreten.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Durchbiegunggrößte Durchbiegung in Feldmitte | mm | |
| Streckenlastgleichmäßig verteilte Last je Länge (1 kN/m = 1 N/mm) | N/mm | |
| StützweiteAbstand der beiden Auflager | mm | |
| ElastizitätsmodulWerkstoffkennwert | N/mm² | |
| Flächenträgheitsmomentum die Biegeachse (Rechteck: b · h³ / 12; Profiltabelle: 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴) | mm⁴ |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Die Holzpfette 100 mm × 200 mm (Nadelholz C24, E = 11 000 N/mm², I = 66 666 667 mm⁴) mit 4,5 m Stützweite trägt 2,0 kN/m. Wie groß ist die Durchbiegung, und ist L/300 eingehalten?
- Umrechnen: q = 2,0 kN/m = 2,0 N/mm; L = 4 500 mm; E = 11 000 N/mm²; I = b · h³ / 12 = 100 · 200³ / 12 mm⁴ ≈ 66 666 667 mm⁴.
- Formel: f = 5 · q · L⁴ / (384 · E · I).
- Einsetzen: f = 5 · 2,0 N/mm · (4 500 mm)⁴ / (384 · 11 000 N/mm² · 66 666 667 mm⁴) = 4,10 · 10¹⁵ / 2,816 · 10¹⁴ mm ≈ 14,6 mm.
- Grenzwert: L/300 = 4 500 mm / 300 = 15 mm. Mit 14,6 mm ist der Grenzwert knapp eingehalten; Kriechverformungen des Holzes sind dabei noch nicht berücksichtigt.
Ergebnis: ≈ 14,6 mm (L/309)
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt für beidseitig gelenkige Lagerung, konstante Gleichlast, konstanten Querschnitt und kleine Durchbiegungen.
- Bei Holz das Kriechen berücksichtigen: Die Enddurchbiegung nach DIN EN 1995-1-1 ist deutlich größer als die elastische Anfangsdurchbiegung.
- Eine zusätzliche mittige Einzellast F erhöht die Durchbiegung um F · L³ / (48 · E · I).
Typische Fehler
- L in m einsetzen – wegen L⁴ ist das Ergebnis dann um 10¹² falsch.
- I in cm⁴ oder E in kN/mm² einsetzen.