Hookesches Gesetz
Spannung und Dehnung sind im elastischen Bereich proportional – der Faktor ist der E-Modul.
Das Hookesche Gesetz beschreibt den linear-elastischen Bereich eines Werkstoffs: Die Normalspannung σ ist proportional zur Dehnung ε. Der Proportionalitätsfaktor ist der Elastizitätsmodul E (kurz E-Modul), ein Werkstoffkennwert mit der Einheit einer Spannung. Je größer E, desto steifer der Werkstoff: Stahl (E ≈ 210 000 N/mm²) dehnt sich bei gleicher Spannung nur ein Drittel so stark wie Aluminium (E ≈ 70 000 N/mm²).
Das Gesetz gilt nur unterhalb der Proportionalitätsgrenze, praktisch also unterhalb der Streckgrenze. Wird diese überschritten, bleibt nach Entlastung eine plastische Verformung zurück, und der lineare Zusammenhang gilt nicht mehr.
In der Praxis wird das Hookesche Gesetz in beide Richtungen genutzt: um aus gemessenen Dehnungen (Dehnungsmessstreifen) auf Spannungen zu schließen und um aus Spannungen die Verformung von Bauteilen zu berechnen.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| NormalspannungZug- (positiv) oder Druckspannung (negativ) im elastischen Bereich | N/mm² | |
| ElastizitätsmodulWerkstoffkennwert für die Steifigkeit (1 GPa = 1 000 N/mm²) | N/mm² | |
| Dehnungdimensionsloser Zahlenwert (0,001 = 1 ‰) | – |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
GrafikSpannungs-Dehnungs-Gerade im elastischen Bereich
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Der Zugstab aus Stahl (E = 210 000 N/mm²) aus dem vorigen Beispiel zeigt eine gemessene Dehnung von 0,00075. Welche Spannung herrscht im Stab?
- Gegeben: E = 210 000 N/mm², ε = 0,00075 (dimensionslos, entspricht 0,75 ‰).
- Formel: σ = E · ε.
- Einsetzen: σ = 210 000 N/mm² · 0,00075 = 157,5 N/mm².
- Plausibilität: 157,5 N/mm² liegt unter der Streckgrenze von S235 (235 N/mm²), der Stab bleibt im elastischen Bereich – das Hookesche Gesetz ist anwendbar.
Ergebnis: 157,5 N/mm²
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt nur im linear-elastischen Bereich, also unterhalb der Streckgrenze bzw. Proportionalitätsgrenze.
- E ist bei Stahl nahezu unabhängig von der Festigkeitsklasse: S235 und S355 haben denselben E-Modul von rund 210 000 N/mm².
- Bei Beton und Holz ist E stark von Güte, Feuchte und Belastungsrichtung abhängig (Nadelholz längs zur Faser etwa 11 000 N/mm², quer dazu deutlich weniger).
Typische Fehler
- Dehnung in Prozent oder Promille statt als reinen Zahlenwert einsetzen (0,075 % = 0,00075).
- E-Modul in kN/mm² oder GPa einsetzen (210 GPa = 210 000 N/mm²).