Längenänderung unter Last
Um wie viel verlängert oder verkürzt sich ein Stab unter der Kraft F?
Die Längenänderung ΔL eines Zug- oder Druckstabs ergibt sich aus der Verknüpfung von Spannungsformel, Hookeschem Gesetz und Dehnungsdefinition: σ = F / A, ε = σ / E und ΔL = ε · L. Zusammengefasst wird daraus ΔL = F · L / (E · A). Das Produkt E · A heißt Dehnsteifigkeit und beschreibt, wie stark sich ein Stab einer Längenänderung widersetzt.
Die Formel gilt für Stäbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Normalkraft im linear-elastischen Bereich. Zugkräfte (positiv) führen zu einer Verlängerung, Druckkräfte (negativ) zu einer Verkürzung.
In der Praxis wird so die Verformung von Zugankern, Abspannungen, Stützen und Schrauben berechnet – etwa um zu prüfen, ob die Dehnung einer Abspannung mit den zulässigen Verschiebungen verträglich ist, oder um die Verlängerung einer Schraube beim Anziehen zu bestimmen.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| LängenänderungVerlängerung (positiv bei Zug) oder Verkürzung (negativ bei Druck) | mm | |
| NormalkraftKraft in Stabachse; Zug positiv, Druck negativ | N | |
| StablängeLänge des unbelasteten Stabs | mm | |
| ElastizitätsmodulWerkstoffkennwert | N/mm² | |
| Querschnittsflächekonstanter Querschnitt des Stabs | mm² |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Der Zugstab einer Rohrbrücken-Abspannung aus Rundstahl S235 (d = 20 mm) ist 6,0 m lang und wird mit 50 kN belastet. Um wie viel verlängert er sich?
- Umrechnen: F = 50 kN = 50 000 N; L = 6,0 m = 6 000 mm; A = π · (20 mm)² / 4 ≈ 314,2 mm²; E = 210 000 N/mm² (Stahl).
- Formel: ΔL = F · L / (E · A).
- Einsetzen: ΔL = 50 000 N · 6 000 mm / (210 000 N/mm² · 314,2 mm²) = 3,0 · 10⁸ / 6,598 · 10⁷ mm ≈ 4,55 mm.
- Kontrolle über die Dehnung: ε = ΔL / L = 4,55 mm / 6 000 mm ≈ 0,00076, also 0,76 ‰ – elastischer Bereich.
Ergebnis: ≈ 4,55 mm
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt für konstanten Querschnitt, konstante Normalkraft und linear-elastisches Verhalten (σ unterhalb der Streckgrenze).
- Das Eigengewicht des Stabs ist nicht berücksichtigt; bei langen hängenden Stäben oder Seilen kann es relevant sein.
- Bei Seilen ist statt E der deutlich kleinere Seil-E-Modul des Herstellers zu verwenden.
Typische Fehler
- L in m und A in mm² mischen – alle Längen in mm, dann kommt ΔL in mm heraus.
- E in GPa oder kN/mm² einsetzen (210 GPa = 210 000 N/mm²).