Eulersche Knicklast (Knickfall 2)

Bei welcher Druckkraft knickt ein schlanker, beidseitig gelenkig gelagerter Stab aus?

F_{k} = \frac{π ^{2} \cdot E \cdot I}{L _{k}^{2}}

F_{k} = \frac{π ^{2} \cdot E \cdot I}{L _{k}^{2}}

E = \frac{F _{k} \cdot L _{k}^{2}}{π ^{2} \cdot I}

I = \frac{F _{k} \cdot L _{k}^{2}}{π ^{2} \cdot E}

L_{k} = \frac{π ^{2} \cdot E \cdot I}{F _{k}}

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Schlanke Druckstäbe versagen nicht durch Überschreiten der Druckfestigkeit, sondern durch seitliches Ausknicken – oft bei Spannungen weit unterhalb der Streckgrenze. Die Eulersche Knicklast F_k ist die kritische Druckkraft, bei der ein ideal gerader, elastischer Stab instabil wird: F_k = π² · E · I / L_k². Maßgebend ist das kleinste Flächenträgheitsmoment des Querschnitts (der Stab knickt um die schwache Achse) und die Knicklänge L_k.

Die Knicklänge hängt von der Lagerung ab (Euler-Fälle): Fall 2 – beidseitig gelenkig – ist der Grundfall mit L_k = L und wird hier gerechnet. Für die anderen Fälle wird die Stablänge umgerechnet: Fall 1 (unten eingespannt, oben frei) L_k = 2 · L, Fall 3 (eingespannt/gelenkig) L_k ≈ 0,7 · L, Fall 4 (beidseitig eingespannt) L_k = 0,5 · L.

Die Euler-Formel gilt nur im elastischen Bereich, also für schlanke Stäbe oberhalb der Grenzschlankheit λ₀ (für S235 rund 105). Die Schlankheit ist λ = L_k / i mit dem Trägheitsradius i = √(I / A). Gedrungene Stäbe darunter werden nach Tetmajer oder mit den Knickspannungslinien nach DIN EN 1993-1-1 nachgewiesen. Da Knicken schlagartig eintritt, werden hohe Sicherheiten angesetzt (im Maschinenbau S = 3 bis 5).

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$F_{k}$	Knicklastkritische Druckkraft, bei der der ideale Stab ausknickt (1 kN = 1 000 N)	N
$E$	ElastizitätsmodulWerkstoffkennwert	N/mm²
$I$	Flächenträgheitsmomentkleinstes Flächenträgheitsmoment des Querschnitts (1 cm⁴ = 10 000 mm⁴)	mm⁴
$L_{k}$	Knicklängebei Knickfall 2 (beidseitig gelenkig) gleich der Stablänge L; sonst L_k = 2 L, 0,7 L bzw. 0,5 L	mm

Ergebnis

Rechenweg

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Grafik

Beispiel: ≈ 124 000 N = 124 kN

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Eine Pendelstütze einer Rohrbrücke aus Stahlrohr 76,1 mm × 3,6 mm (I = 54,0 cm⁴, A = 820 mm²) ist 3,0 m lang und beidseitig gelenkig gelagert. Wie groß ist die Eulersche Knicklast, und welche Druckkraft ist bei S = 3 zulässig?

Schlankheit prüfen: i = √(I / A) = √(540 000 mm⁴ / 820 mm²) ≈ 25,7 mm; λ = L_k / i = 3 000 mm / 25,7 mm ≈ 117 > λ₀ ≈ 105 (S235) → Euler-Bereich, die Formel ist anwendbar.
Umrechnen: E = 210 000 N/mm²; I = 54,0 cm⁴ = 540 000 mm⁴; L_k = L = 3 000 mm (Knickfall 2).
Formel: F_k = π² · E · I / L_k².
Einsetzen: F_k = π² · 210 000 N/mm² · 540 000 mm⁴ / (3 000 mm)² = 1,119 · 10¹² / 9 · 10⁶ N ≈ 124 400 N ≈ 124 kN.
Zulässige Druckkraft bei S = 3: F_zul = F_k / 3 ≈ 41 kN. Zum Vergleich: Die Druckspannung bei 41 kN beträgt nur 41 000 N / 820 mm² ≈ 50 N/mm² – weit unter der Streckgrenze. Knicken ist maßgebend, nicht die Druckspannung.

Ergebnis: ≈ 124 000 N = 124 kN

Gültigkeit & Hinweise

Gilt nur für schlanke Stäbe im elastischen Bereich (λ > λ₀, für S235 rund 105); für gedrungene Stäbe gelten Tetmajer bzw. die Knickspannungslinien nach DIN EN 1993-1-1.
Knickfall 2 (beidseitig gelenkig): L_k = L. Andere Lagerungen über die Knicklänge umrechnen: Fall 1 L_k = 2 L, Fall 3 L_k ≈ 0,7 L, Fall 4 L_k = 0,5 L.
Stets das kleinste I des Querschnitts einsetzen; Vorkrümmungen, Außermittigkeiten und Eigenspannungen setzen die reale Traglast deutlich herab – daher hohe Sicherheiten (S = 3 bis 5).

Typische Fehler

Das größere statt des kleineren Flächenträgheitsmoments verwenden (z. B. I_y statt I_z bei IPE-Profilen).
Stablänge statt Knicklänge einsetzen, wenn die Lagerung nicht beidseitig gelenkig ist.
I in cm⁴ einsetzen (Faktor 10 000).

Verwandte Formeln:

Quelle: Roloff/Matek: Maschinenelemente; Tabellenbuch Metall; DIN EN 1993-1-1 (Textnennung)