Technische Mathematik & Geometrie
Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Gegenkathete aus Ankathete und Winkel: a = b · tan α – Höhen aus Abstand und Winkel.
Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete: tan α = a / b. Er verbindet die beiden Katheten direkt miteinander, ohne dass die Hypotenuse bekannt sein muss. Damit ist der Tangens zugleich die Steigung als Dezimalzahl: tan α · 100 ergibt die Steigung in Prozent.
Die klassische Anwendung ist die Höhenbestimmung aus der Entfernung: Wer den horizontalen Abstand zu einem Mast, Schornstein oder Baum und den Höhenwinkel zur Spitze kennt, erhält die Höhe. Ebenso wird aus Dachneigung und halber Gebäudetiefe die Firsthöhe berechnet oder aus Gefälle und Länge der Höhenunterschied einer Leitung.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| GegenkatheteSeite gegenüber dem Winkel α (z. B. Höhe) | m | |
| AnkatheteSeite am Winkel α (z. B. horizontaler Abstand) | m | |
| WinkelWinkel zwischen Ankathete b und Hypotenuse (0 … 90°) | ° |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Die Höhe eines Schornsteins soll ohne Besteigen bestimmt werden. Aus 25,0 m horizontalem Abstand wird mit einem Neigungsmesser ein Höhenwinkel von 32° zur Schornsteinspitze gemessen. Wie hoch liegt die Spitze über dem Messgerät?
- Gegeben: b = 25,0 m (horizontaler Abstand = Ankathete), α = 32° (Höhenwinkel). Gesucht: Höhe a über dem Messgerät (Gegenkathete).
- Formel: a = b · tan α.
- Einsetzen: a = 25,0 m · tan 32° = 25,0 m · 0,6249 = 15,62 m.
- Ergebnis: Die Spitze liegt 15,62 m über der Instrumentenhöhe. Mit einer Instrumentenhöhe von 1,60 m ergibt sich eine Gesamthöhe von rund 17,2 m.
Ergebnis: 15,62 m
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck und für 0° < α < 90°; bei 90° ist der Tangens nicht definiert (Ankathete wäre 0).
- tan α ist die Steigung als Dezimalzahl: tan 32° = 0,625 entspricht 62,5 % Steigung.
- Die Umstellung nach α (Arkustangens) ist für jedes positive Verhältnis a / b definiert und liefert 0 … 90°.
Typische Fehler
- Schrägen Abstand (Sichtlinie) statt horizontalem Abstand als b einsetzen – das wäre die Hypotenuse, dann gilt der Sinus.
- Instrumentenhöhe bei Höhenmessungen vergessen.