Technische Mathematik & Geometrie
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c² – die Formel für Diagonalen, Sparren und Abstände.
Der Satz des Pythagoras verknüpft die beiden Katheten a und b eines rechtwinkligen Dreiecks (die Seiten am rechten Winkel) mit der Hypotenuse c (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel): Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
In der Praxis ist das die Formel für alles, was schräg liegt: Diagonalen von Räumen und Platten, Sparren- und Strebenlängen aus Grundmaß und Höhe, der Abstand zweier Punkte aus ihren Koordinatendifferenzen oder die Kontrolle eines rechten Winkels auf der Baustelle (3-4-5-Regel: Sind die Katheten 3 m und 4 m lang, muss die Diagonale genau 5 m messen).
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Kathete aeine der beiden Seiten am rechten Winkel | m | |
| Kathete bdie andere Seite am rechten Winkel | m | |
| Hypotenusedie längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel | m |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Ein Pultdach überbrückt horizontal 6,00 m; der Höhenunterschied zwischen Traufe und First beträgt 1,80 m. Wie lang ist der Sparren (ohne Dachüberstand)?
- Gegeben: a = 1,80 m (Höhenunterschied, senkrechte Kathete), b = 6,00 m (horizontales Grundmaß). Gesucht: Sparrenlänge c (Hypotenuse).
- Umstellen nach c: c = √(a² + b²).
- Einsetzen: c = √(1,80² + 6,00²) m = √(3,24 + 36,00) m = √39,24 m.
- Ergebnis: c ≈ 6,264 m, also rund 6,26 m Sparrenlänge – zuzüglich Überstände und Zuschnitt.
Ergebnis: 6,26 m
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck; c ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel und die längste der drei Seiten.
- Bei der Umstellung nach a oder b muss c größer als die bekannte Kathete sein, sonst wird der Radikand negativ.
- Alle drei Längen in derselben Einheit einsetzen; das Ergebnis hat dann dieselbe Einheit.
Typische Fehler
- Die Hypotenuse als Kathete einsetzen (c steht immer gegenüber dem rechten Winkel).
- Millimeter und Meter mischen – z. B. 6,00 m und 1 800 mm.