Technische Mathematik & Geometrie
Lineare Interpolation
Zwischenwert zwischen zwei Tabellenzeilen: y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
Stoffwerttabellen, Kennlinien und Normtabellen liefern Werte nur an festen Stützstellen. Liegt der gesuchte Eingangswert x dazwischen, wird der Verlauf zwischen den beiden benachbarten Stützstellen (x₁, y₁) und (x₂, y₂) durch eine Gerade ersetzt: y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Der Bruch ist die Steigung der Geraden, der Rest eine Dreisatz-Rechnung.
Das ist das Standardverfahren für Dichte, Wärmekapazität, Viskosität, Dampfdruck oder Enthalpie bei Zwischentemperaturen, für Pumpen- und Ventilatorkennlinien, Rohrreibungstabellen und für Klimadaten. Umgekehrt lässt sich auch der x-Wert bestimmen, der zu einem gegebenen y gehört – etwa die Temperatur, bei der eine Tabelle einen bestimmten Dampfdruck ausweist.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| untere Stützstellex-Wert der ersten Tabellenzeile (z. B. Temperatur) | – | |
| Wert an der unteren StützstelleTabellenwert zu x₁ | – | |
| obere Stützstellex-Wert der zweiten Tabellenzeile (x₂ ≠ x₁) | – | |
| Wert an der oberen StützstelleTabellenwert zu x₂ | – | |
| Eingangswertx-Wert, für den interpoliert wird (zwischen x₁ und x₂) | – | |
| interpolierter Wertgesuchter Zwischenwert zu x (Einheit wie y₁, y₂) | – |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
GrafikInterpolationsgerade durch die beiden Stützstellen
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
In einer Stoffwerttabelle steht die Dichte von Wasser nur für 40 °C (992,2 kg/m³) und 50 °C (988,0 kg/m³). Welche Dichte hat Wasser bei 44 °C?
- Gegeben: Stützstellen x₁ = 40 °C mit y₁ = 992,2 kg/m³ und x₂ = 50 °C mit y₂ = 988,0 kg/m³. Gesucht: y bei x = 44 °C.
- Formel: y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
- Steigung der Geraden: (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (988,0 − 992,2) kg/m³ / (50 − 40) K = −4,2 / 10 = −0,42 kg/(m³·K).
- Einsetzen: y = 992,2 kg/m³ + (44 − 40) K · (−0,42 kg/(m³·K)) = 992,2 − 1,68 = 990,52 kg/m³.
- Ergebnis: ρ(44 °C) ≈ 990,5 kg/m³. Da die Dichtekurve leicht gekrümmt ist, weicht der exakte Wert um rund 0,1 kg/m³ ab – für die Praxis vernachlässigbar.
Ergebnis: 990,5 kg/m³
Gültigkeit & Hinweise
- Lineare Interpolation ersetzt den Verlauf zwischen zwei Tabellenwerten durch eine Gerade. Sie ist umso genauer, je enger die Stützstellen liegen und je gerader der tatsächliche Verlauf ist.
- Alle x-Werte in derselben Einheit, alle y-Werte in derselben Einheit eingeben; das Ergebnis hat die Einheit der y-Werte.
- Außerhalb von x₁ … x₂ wird extrapoliert – das liefert bei gekrümmten Kurven (z. B. Dampfdruck, Sättigungsfeuchte) schnell große Fehler.
- x₁ und x₂ müssen verschieden sein; für die Umstellung nach x außerdem y₁ ≠ y₂.
Typische Fehler
- Stützstellen vertauschen: x₁ gehört zu y₁, x₂ zu y₂.
- Bei Größen mit exponentiellem Verlauf (z. B. Dampfdruck über der Temperatur) besser die Logarithmen der y-Werte interpolieren.