Technische Mathematik & Geometrie
Quadratische Gleichung (pq-Formel)
Lösungen von x² + p·x + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q).
Eine quadratische Gleichung in Normalform x² + p · x + q = 0 hat die Lösungen x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = (p/2)² − q und entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt: zwei für D > 0, eine doppelte für D = 0 und keine für D < 0. Eine allgemeine Gleichung a · x² + b · x + c = 0 wird zuerst durch a geteilt (p = b / a, q = c / a).
Quadratische Gleichungen entstehen in der Technik immer dann, wenn eine Größe im Quadrat auftritt: Seitenlängen eines Rechtecks aus Fläche und Umfang, Durchmesser aus einer Querschnittsbedingung, Wurfweiten und Bremswege, Zeitpunkte bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung, Betriebspunkte von Pumpenkennlinien oder Wirtschaftlichkeitsrechnungen mit quadratischen Kostenanteilen.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Koeffizient pKoeffizient vor x in der Normalform (Vorzeichen beachten) | – | |
| Absolutglied qkonstantes Glied der Normalform | – | |
| erste LösungLösung mit dem Pluszeichen vor der Wurzel (die größere) | – | |
| zweite LösungLösung mit dem Minuszeichen vor der Wurzel (die kleinere) | – |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Ein rechteckiger Lagerplatz soll 300 m² Fläche haben und mit 70 m Zaun eingefriedet werden. Welche Seitenlängen ergeben sich?
- Ansatz: Umfang 2 · (a + b) = 70 m → a + b = 35 m; Fläche a · b = 300 m². Mit b = 35 − a folgt a · (35 − a) = 300, also a² − 35 · a + 300 = 0. Normalform mit p = −35 und q = 300.
- Diskriminante: D = (p/2)² − q = (−17,5)² − 300 = 306,25 − 300 = 6,25 > 0 → zwei reelle Lösungen.
- Formel: x₁,₂ = −p/2 ± √D = 17,5 ± √6,25 = 17,5 ± 2,5.
- Ergebnis: x₁ = 20 und x₂ = 15. Der Lagerplatz misst 20 m × 15 m – beide Lösungen beschreiben dasselbe Rechteck, einmal ist a die lange, einmal die kurze Seite.
Ergebnis: x₁ = 20 (x₂ = 15)
Gültigkeit & Hinweise
- Die Diskriminante D = (p/2)² − q entscheidet über die Lösungen: D > 0 → zwei verschiedene reelle Lösungen; D = 0 → eine doppelte Lösung x = −p/2; D < 0 → keine reelle Lösung (der Rechner meldet dann kein endliches Ergebnis).
- Eine allgemeine quadratische Gleichung a · x² + b · x + c = 0 wird zuerst durch a geteilt: p = b / a, q = c / a. Alternativ gilt die abc-Formel („Mitternachtsformel“) x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Der Rechner berechnet x₁ und x₂ aus p und q. Eine Umstellung nach p oder q ist aus einer einzelnen Lösung nicht möglich – dafür braucht es beide Lösungen (Satz von Vieta: p = −(x₁ + x₂), q = x₁ · x₂).
- In technischen Aufgaben ist oft nur eine der beiden Lösungen physikalisch sinnvoll (z. B. keine negativen Längen oder Zeiten).
Typische Fehler
- Vorzeichen von p: In x² − 35 · x + 300 = 0 ist p = −35, also −p/2 = +17,5.
- Gleichung nicht in Normalform gebracht (der Koeffizient vor x² muss 1 sein).
- Beim Quadrieren von p/2 das Vorzeichen stehen lassen – (p/2)² ist immer positiv.