Technische Mathematik & Geometrie
Dreisatz (proportionale Zuordnung)
Vom bekannten Verhältnis auf eine neue Menge schließen: y₂ = y₁ · x₂ / x₁.
Beim proportionalen Dreisatz gehört zu einer Menge x₁ ein Wert y₁, und gesucht ist der Wert y₂ zu einer anderen Menge x₂. Weil das Verhältnis y / x konstant ist, gilt y₂ / x₂ = y₁ / x₁ und damit y₂ = y₁ · x₂ / x₁. Der klassische Rechenweg führt über die Einheit („für 1 m² werden … benötigt“) und multipliziert dann mit der neuen Menge.
Der Dreisatz ist das Werkzeug für Materialbedarf (Verbrauch je m², Masse je Meter), Kosten je Einheit, Zeiten bei gleichbleibender Leistung, Umrechnungen zwischen Einheiten und für die Skalierung von Rezepturen und Mischungen. Voraussetzung ist ein proportionaler Zusammenhang: doppelte Menge, doppelter Wert.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Bezugsmengebekannte Menge (z. B. 25 m²), ungleich 0 | – | |
| Wert zur Bezugsmengebekannter Wert zu x₁ (z. B. 6,5 l) | – | |
| neue MengeMenge, für die der Wert gesucht ist (Einheit wie x₁) | – | |
| Wert zur neuen Mengegesuchter Wert zu x₂ (Einheit wie y₁) | – |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Für 25 m² Wandfläche wurden 6,5 l Grundierung verbraucht. Wie viel Grundierung ist für die restlichen 140 m² nötig?
- Gegeben: x₁ = 25 m² → y₁ = 6,5 l; neue Menge x₂ = 140 m². Gesucht: y₂.
- Formel (proportional): y₂ = y₁ · x₂ / x₁.
- Zwischenschritt auf die Einheit: 6,5 l / 25 m² = 0,26 l/m².
- Einsetzen: y₂ = 0,26 l/m² · 140 m² = 36,4 l.
- Ergebnis: Rund 36,4 l Grundierung – in der Praxis z. B. vier Gebinde à 10 l.
Ergebnis: 36,4 l
Gültigkeit & Hinweise
- Nur für proportionale Zusammenhänge (doppelte Menge → doppelter Wert): Materialverbrauch, Kosten, Masse je Meter, Zeit bei konstanter Leistung.
- Bei antiproportionalen Zusammenhängen (doppelte Pumpenzahl → halbe Zeit) gilt stattdessen y₂ = y₁ · x₁ / x₂.
- x-Werte in gleicher Einheit, y-Werte in gleicher Einheit eingeben; das Ergebnis hat die Einheit der y-Werte.
Typische Fehler
- Proportional und antiproportional verwechseln.
- Mengen mit festen Grundanteilen (z. B. Anfahrtspauschale plus Preis je Stunde) als rein proportional behandeln.