Technische Mathematik & Geometrie
Kegel: Volumen
Rauminhalt eines Kreiskegels: V = 1/3 · π · r² · h – Schüttkegel, Trichter, Silospitzen.
Das Volumen eines geraden Kreiskegels ist ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe: V = 1/3 · π · r² · h. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche – nicht die Mantellinie s = √(r² + h²), die von der Spitze zum Rand der Grundfläche läuft.
Der wichtigste Praxisfall ist der Schüttkegel: Sand, Kies, Splitt oder Pellets bilden beim Abkippen einen Kegel, dessen Volumen sich aus Durchmesser und Höhe ergibt. Weitere Anwendungen sind Trichter und Siloausläufe, konische Behälterböden, Kegelstümpfe (als Differenz zweier Kegel) und Bohrkegel.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| VolumenRauminhalt des Kegels | m³ | |
| RadiusRadius der Grundfläche (r = d / 2) | m | |
| Höhesenkrechte Höhe von der Grundfläche zur Spitze | m |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Auf dem Lagerplatz liegt ein kegelförmiger Haufen Kies mit 6,00 m Durchmesser am Boden und 2,00 m Höhe. Wie viel Kies ist das?
- Gegeben: d = 6,00 m → r = 3,00 m; h = 2,00 m. Gesucht: Volumen V.
- Formel: V = 1/3 · π · r² · h – ein Drittel des umschreibenden Zylinders.
- Einsetzen: V = 1/3 · π · (3,00 m)² · 2,00 m = 1/3 · π · 9,00 m² · 2,00 m = 18,85 m³.
- Ergebnis: Rund 18,8 m³ Schüttgut. Mit einer Schüttdichte von etwa 1,6 t/m³ sind das rund 30 t Kies.
Ergebnis: 18,8 m³
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt für den geraden Kreiskegel; h ist die senkrechte Höhe, nicht die Mantellinie s = √(r² + h²).
- Schüttkegel bilden sich mit dem Schüttwinkel des Materials (Sand und Kies etwa 30 … 35°); daraus folgt h = r · tan(Schüttwinkel) – im Beispiel rund 33,7°.
- Ein Kegelstumpf hat das Volumen V = π · h / 3 · (R² + R · r + r²) mit den beiden Radien R und r.
Typische Fehler
- Den Faktor 1/3 vergessen (Zylindervolumen).
- Mantellinie als Höhe einsetzen.