Technische Mathematik & Geometrie
Kugel: Volumen
Rauminhalt einer Kugel aus dem Radius: V = 4/3 · π · r³ – Kugelbehälter, Schwimmer, Kugeltanks.
Das Volumen einer Kugel ist V = 4/3 · π · r³; mit dem Durchmesser lautet die Formel V = π · d³ / 6. Da der Radius mit der dritten Potenz eingeht, verachtfacht sich das Volumen bei doppeltem Radius.
Kugelbehälter werden für Flüssiggas und Druckgase eingesetzt, weil die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche und die günstigste Spannungsverteilung hat. Weitere Fälle sind Schwimmerkugeln in Armaturen, Kugelhähne, Kugelgelenke und das Volumen von Schüttgutkörnern oder Tropfen.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| VolumenRauminhalt der Kugel (1 m³ = 1 000 l) | m³ | |
| RadiusKugelradius (r = d / 2) | m |
Rechenweg
- Werte eintragen, eine Größe leer lassen, „Lösen“ drücken.
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Ein kugelförmiger Flüssiggasbehälter hat einen Innendurchmesser von 2,00 m. Welches Volumen fasst er, und wie viel Flüssigphase darf bei einem zulässigen Füllgrad von 85 % enthalten sein?
- Gegeben: d = 2,00 m → r = 1,00 m. Gesucht: Volumen V.
- Formel: V = 4/3 · π · r³.
- Einsetzen: V = 4/3 · π · (1,00 m)³ = 4,189 m³.
- Umrechnen: 4,189 m³ = 4 189 l. Bei 85 % Füllgrad bleiben rund 0,85 · 4 189 l ≈ 3 560 l Flüssigphase; der Rest ist Gasraum für die Ausdehnung.
Ergebnis: 4,19 m³ ≈ 4 189 l
Gültigkeit & Hinweise
- r geht mit der dritten Potenz ein: doppelter Radius = achtfaches Volumen. Entsprechend groß wirken sich Messfehler beim Radius aus.
- Mit dem Durchmesser: V = π · d³ / 6.
- Die Umstellung nach r verwendet die Kubikwurzel; das Ergebnis hat die Einheit der Längenwurzel aus m³, also m.
Typische Fehler
- Durchmesser statt Radius kubieren (achtfaches Volumen).
- Den Faktor 4/3 weglassen oder mit 4/3 · π · r² (Oberflächenformel) verwechseln.