Technische Mathematik & Geometrie
Dreiecksfläche nach Heron (drei Seiten)
Fläche eines Dreiecks nur aus den drei Seitenlängen – ohne Höhe und ohne Winkel.
Die Heron-Formel berechnet die Fläche eines beliebigen Dreiecks allein aus seinen drei Seiten a, b und c. Hilfsgröße ist der halbe Umfang s = (a + b + c) / 2; die Fläche ist dann A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)). Eine Höhe muss nicht gemessen werden – ein Vorteil überall dort, wo nur Seitenlängen zugänglich sind.
Typische Fälle sind dreieckige Grundstücksteile und Restflächen, die mit dem Maßband aufgenommen werden, schiefwinklige Dachflächen und Flächen in Grundrissen, die mit der Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt werden. Der Sonderrechner prüft zuerst, ob die drei Seiten überhaupt ein Dreieck bilden (Dreiecksungleichung), und liefert neben der Fläche auch die drei Innenwinkel aus dem Kosinussatz.
Größen und Einheiten
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Seite aerste Seite (gegenüber dem Winkel α) | m | |
| Seite bzweite Seite (gegenüber dem Winkel β) | m | |
| Seite cdritte Seite (gegenüber dem Winkel γ) | m | |
| FlächeFlächeninhalt des Dreiecks (Ergebnis) | m² |
Rechenweg
- Halber Umfangs = (a + b + c) / 2 = (7 m + 9 m + 12 m) / 2 = 14 m
- Fläche (Heron)A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)) = √(14 · 7 · 5 · 2) m² = 31,3 m²
- Winkel (Kosinussatz)α = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)) = 35,4° · β = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)) = 48,2° · γ = 180° − α − β = 96,4°
- Höhenha = 2A / a = 8,944 m · hb = 2A / b = 6,957 m · hc = 2A / c = 5,217 m
- Inkreis- und Umkreisradiusr = A / s = 2,236 m · R = abc / (4A) = 6,037 m
- Übersicht
Größe Wert Winkel α (gegenüber a) 35,4° Winkel β (gegenüber b) 48,2° Winkel γ (gegenüber c) 96,4° Höhe ha 8,944 m Höhe hb 6,957 m Höhe hc 5,217 m Inkreisradius r 2,236 m Umkreisradius R 6,037 m
Grafik
Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.
Beispiel
Ein dreieckiges Grundstücksteil (Restfläche an einer schrägen Grenze) hat die Seitenlängen 7,00 m, 9,00 m und 12,00 m; eine Höhe lässt sich vor Ort nicht messen. Wie groß ist die Fläche?
- Gegeben: a = 7,00 m, b = 9,00 m, c = 12,00 m. Dreiecksungleichung prüfen: 7,00 + 9,00 = 16,00 > 12,00 – das Dreieck ist konstruierbar.
- Halber Umfang: s = (7,00 + 9,00 + 12,00) m / 2 = 14,00 m.
- Formel: A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)).
- Einsetzen: A = √(14,00 · 7,00 · 5,00 · 2,00) m² = √980 m² = 31,30 m².
- Ergebnis: Die Fläche beträgt rund 31,3 m². Die Innenwinkel folgen aus dem Kosinussatz: α ≈ 35,4° (gegenüber a), β ≈ 48,2°, γ ≈ 96,4° – ein stumpfwinkliges Dreieck.
Ergebnis: 31,3 m²
Gültigkeit & Hinweise
- Gilt für jedes Dreieck, sofern die Dreiecksungleichung erfüllt ist: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen. Sonst wird der Radikand negativ und es gibt kein Dreieck.
- Bei sehr spitzen („nadelförmigen“) Dreiecken reagiert das Ergebnis empfindlich auf Messfehler der Seitenlängen.
- Eine geschlossene Umstellung nach einer Seite ist nicht praxistauglich; der Sonderrechner nimmt die drei Seiten entgegen und gibt halben Umfang, Fläche und die drei Winkel aus.
Typische Fehler
- Die Klammern (s − a) usw. mit s · a verwechseln.
- Seiten in verschiedenen Einheiten eingeben.