Logarithmische Übertemperatur

Die genaue mittlere Übertemperatur eines Heizkörpers aus Vorlauf-, Rücklauf- und Raumtemperatur.

Δ T_{l n} = \frac{T _{V} - T _{R}}{ln ( \frac{T _{V} - T _{i}}{T _{R} - T _{i}} )}

Die Übertemperatur eines Heizkörpers ist die Differenz zwischen mittlerer Heizwassertemperatur und Raumtemperatur. Weil das Wasser auf dem Weg durch den Heizkörper nicht linear, sondern exponentiell abkühlt, ist das arithmetische Mittel (T_V + T_R)/2 nur eine Näherung. Der genaue Wert ist die logarithmische Übertemperatur, die auch in den Prüfnormen (DIN EN 442) und in Herstellerprogrammen verwendet wird.

Bei kleiner Spreizung (T_V − T_R ≤ 10 K) und hohen Temperaturen unterscheiden sich beide Werte kaum. Bei großer Spreizung und niedrigen Vorlauftemperaturen – typisch für Wärmepumpen – liegt die logarithmische Übertemperatur spürbar unter der arithmetischen, und die Heizkörperleistung fällt entsprechend geringer aus. Der Rechner gibt beide Werte aus, damit die Abweichung sichtbar wird.

Größen und Einheiten

Symbol	Bedeutung	Einheit
$T_{V}$	VorlauftemperaturHeizwassertemperatur am Eintritt in den Heizkörper	°C
$T_{R}$	RücklauftemperaturHeizwassertemperatur am Austritt, muss kleiner als T_V und größer als T_i sein	°C
$T_{i}$	RaumtemperaturLufttemperatur im beheizten Raum	°C
$Δ T_{l n}$	logarithmische ÜbertemperaturErgebnis: mittlere logarithmische Temperaturdifferenz zwischen Heizwasser und Raumluft	K

Ergebnis

ΔT_ln = 29,72 K

arithmetisch 30,0 K (Abweichung −0,9 %)

Ein Heizkörper liefert bei diesen Temperaturen etwa 51 % seiner Normleistung (75/65/20 °C, ΔT_ln = 49,83 K, Exponent 1,3). Zur Formel Heizkörperleistung

Rechenweg

Spreizung
T_V − T_R = 55 °C − 45 °C = 10,0 K
Temperaturverhältnis und Logarithmus
(T_V − T_i) / (T_R − T_i) = 35,0 K / 25,0 K = 1,4000 · ln(1,4000) = 0,3365
Logarithmische Übertemperatur
ΔT_ln = (T_V − T_R) / ln((T_V − T_i) / (T_R − T_i)) = 10,0 K / 0,3365 = 29,72 K
Zum Vergleich arithmetisch
(T_V + T_R) / 2 − T_i = 30,0 K · Abweichung −0,28 K (−0,9 %)

Ergebnis ohne Gewähr – ersetzt keine Fachplanung.

Beispiel

Ein Heizkörper wird mit 55 °C Vorlauf und 45 °C Rücklauf betrieben, die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wie groß ist die logarithmische Übertemperatur, und wie groß wäre die arithmetische?

Gegeben: T_V = 55 °C, T_R = 45 °C, T_i = 20 °C.
Zähler: T_V − T_R = 55 °C − 45 °C = 10 K.
Nenner: ln((T_V − T_i)/(T_R − T_i)) = ln((55 − 20)/(45 − 20)) = ln(35/25) = ln(1,4) ≈ 0,3365.
ΔT_ln = 10 K / 0,3365 ≈ 29,72 K.
Zum Vergleich arithmetisch: (55 °C + 45 °C)/2 − 20 °C = 30,0 K. Die Abweichung beträgt hier nur 0,28 K; bei 35/25/20 °C wären es 10 K/ln(15/5) = 9,1 K gegenüber 10 K arithmetisch.

Ergebnis: 29,72 K (arithmetisch: 30,0 K)

Gültigkeit & Hinweise

Gilt nur für T_V > T_R > T_i; bei T_R = T_i ist der Ausdruck nicht definiert (Rücklauf auf Raumtemperatur abgekühlt).
Für T_V = T_R (keine Spreizung) ist der Grenzwert ΔT_ln = T_V − T_i.
Die Normprüfbedingungen 75/65/20 °C ergeben ΔT_ln = 49,83 K; in der Praxis wird dafür ΔT_N = 50 K gesetzt.
Die Abweichung zwischen logarithmischer und arithmetischer Übertemperatur bleibt unter 1 % , solange die Spreizung kleiner als etwa ein Drittel der arithmetischen Übertemperatur ist.

Typische Fehler

Natürlichen Logarithmus (ln) mit dem dekadischen (lg) verwechseln.
Temperaturen in Kelvin und Grad Celsius mischen – hier sind nur Differenzen relevant, alle drei Eingaben in °C.

Verwandte Formeln:

Heizkörperleistung bei abweichender Übertemperatur

Quelle: DIN EN 442-2; Recknagel/Sprenger